¿Cuándo es [matemáticas] (3 ^ a-2 ^ a) / (3 ^ a-2 ^ b) [/ matemáticas] un valor entero?

Answer 1

¿Cuándo es [matemáticas] (3 ^ a-2 ^ a) / (3 ^ a-2 ^ b) [/ matemáticas] un valor entero?

Creo que la solución más fascinante es cuando [matemáticas] a = -2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -3 [/ matemáticas]. En ese caso, tiene [matemática] \ dfrac {3 ^ {- 2} –2 ^ {- 2}} {3 ^ {- 2} –2 ^ {- 3}} [/ matemática]. El numerador de esta fracción es [math] \ dfrac {1} {9} – \ dfrac {1} {4} [/ math] o [math] \ dfrac {-5} {36} [/ math]. El denominador es [math] \ dfrac {1} {9} – \ dfrac {1} {8} [/ math] o [math] \ dfrac {-1} {72}. [/ Math] Cuando divide el numerador por el denominador, el resultado es el entero, [math] 10 [/ math].

Una respuesta completa a su pregunta es:

Si [matemática] a = 0 [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es cualquier número real positivo o negativo, entonces [matemática] \ dfrac {3 ^ a-2 ^ a} {3 ^ a-2 ^ b} [/ math] es el entero, cero.

Si [math] a [/ math] es cualquier número real positivo o negativo, y [math] b = a [/ math] entonces [math] \ dfrac {3 ^ a-2 ^ a} {3 ^ a-2 ^ b} [/ math] es el entero, uno.

Si [matemática] a = -2 [/ matemática] y [matemática] b = -3 [/ matemática] entonces [matemática] \ dfrac {3 ^ a-2 ^ a} {3 ^ a-2 ^ b} = 10 [/ matemáticas], como mencioné anteriormente.

Si [matemáticas] a = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -2 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] \ dfrac {3 ^ a-2 ^ a} {3 ^ a-2 ^ b} = – 2 [/ matemáticas].

Si [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] b = 2 [/ matemática] entonces [matemática] \ dfrac {3 ^ a-2 ^ a} {3 ^ a-2 ^ b} = – 1 [ /matemáticas].

Si [matemática] a = 2 [/ matemática] y [matemática] b = 3 [/ matemática] entonces [matemática] \ dfrac {3 ^ a-2 ^ a} {3 ^ a-2 ^ b} = 5 [/ matemáticas].

Answer 2

Es demasiado tarde para dar una respuesta completa, pero algunas obvias serían:

Cada vez que el denominador es uno, lo que ocurriría en muchos valores: (0,1), (1,1), (1,2), (2,3), …?

En cualquier momento a = b <> 0.

Si y solo si (3 ^ a – 2 ^ b) es un factor de (1 – 2 ^ (ab)). Eso es porque

(3 ^ a – 2 ^ a) / (3 ^ a – 2 ^ b) = 1 + [2 ^ b (1 – 2 ^ (ab)) / (3 ^ a – 2 ^ b)]

Como 3 y 2 son relativamente primos, nunca tendrán 2 o 3 como factor. Por lo tanto, la única expresión que podría “absorber” un denominador no unitario y producir un número entero sería (1 – 2 ^ (a – b)).

Por lo tanto, el problema original puede reducirse a la pregunta: ¿cuándo la expresión (1 -2 ^ (ab)) / (3 ^ a – 2 ^ b) es igual a un número entero?

Buena suerte.