¿Cómo encuentro el valor de n en n log n = 10 ^ 6?

Answer 1

Si no tiene una herramienta que pueda calcular la función Lambert W, puede calcular una aproximación utilizando el método Newton-Raphson.

En el método de Newton-Raphson, si tiene una función [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] que se comporta bien y tiene una suposición algo cercana a la raíz verdadera, puede aproximar la raíz verdadera haciendo esta.

[matemáticas] n \ ln n = 10 ^ 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] n \ ln n – 10 ^ 6 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x \ ln x – 10 ^ 6 [/ matemáticas]

Primero define la suposición como [math] x_0 [/ math]. Con números tan grandes, estableceré mi primera suposición como una potencia de 10.

[matemáticas] 10 ^ 3 \ ln 10 ^ 3 \ aprox 6907.8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 ^ 4 \ ln 10 ^ 4 \ aprox 92103.4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 ^ 5 \ ln 10 ^ 5 \ aprox 1151292.5 [/ matemáticas]

Esa suposición no está muy lejos, por lo que estableceré [math] x_0 = 10 ^ 5 [/ math].

Después de elegir [matemáticas] x_0 [/ matemáticas], debe tomar la derivada de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas].

[matemáticas] f ‘(x) = x \ cdot \ frac {1} {x} + \ ln x \ cdot 1 = \ ln x + 1 [/ matemáticas]

Luego aplicas esta fórmula:

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {f (x)} {f ‘(x)} [/ matemáticas]

Para este problema:

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {x_n \ ln x_n – 10 ^ 6} {\ ln x_n + 1} [/ matemáticas]

Tras la manipulación, eso se simplifica a:

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ dfrac {x_n + 10 ^ 6} {\ ln x_n + 1} [/ matemáticas]

La iteración de esa fórmula da estos valores:

[matemáticas] x_1 \ aprox 87909.09872191244549680686931943703456 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 \ aprox 87847.54131860323797640767820168091008 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 \ aprox 87847.53957775977298741415738344701228 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 \ aprox 87847.53957775977159450944449763961448 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_5 \ aprox 87847.53957775977159450944449763961359 [/ matemáticas]

Para mis cálculos, no apliqué los valores que muestro aquí, apliqué los valores redondeados a 1000 dígitos de precisión usando Precise Calculator – calculadora científica programable. Encuentro 1000 dígitos de precisión aceptables porque los cálculos solo toman 6 ms, lo que es prácticamente instantáneo.

Si desea verificar, simplemente calcule qué es [math] x \ ln x [/ math]. En este caso, aplicaré el valor redondeado de [math] x_5 [/ math] al cálculo. Ese cálculo se redondea a:

1000000.0000000000000000000000000000000

Por lo tanto, esto hace una muy buena aproximación.

Answer 2

La respuesta corta es que para eso está la función Lambert W (también conocida como la función omega o el logaritmo del producto): función Lambert W – Wikipedia

La respuesta es [matemáticas] e ^ {W (10 ^ 6)} [/ matemáticas], o equivalente, [matemáticas] \ frac {10 ^ 6} {W (10 ^ 6)} [/ matemáticas].

Puede aprender sobre estas funciones más oscuras usando una herramienta como Mathematica o Wolfram Alpha (que puede darle las respuestas anteriores) o buscándolas en un libro. También puede encontrar las respuestas numéricamente con el Método de Newton o técnicas aproximadas similares, con la precisión que desee.

Answer 3

Mueva todos los términos hacia el lado izquierdo, trace el lado izquierdo y vea cómo se ve y dónde cruza el eje X. A continuación, acercar a donde cruza el eje X:

… Entonces x es aproximadamente igual a 8.7848 * 10 ^ 4

Una vez que tenga una idea general de dónde está el cruce del eje X, puede hacer muchas otras cosas.

Puede usar la función find_root de un software CAS para obtener más dígitos decimales:

O puede escribir un pequeño programa en C para hacer una búsqueda binaria:

… y la salida se ve así:

O puede probar una recurrencia y ver si funciona:

Si desea generar una respuesta precisa a un billón de lugares decimales, puede usar el algoritmo de recurrencia con variables arbitrarias de precisión “bfloat” en Maxima:

Si la derivada de la función no es computacionalmente intensiva, puede converger con muchas menos iteraciones usando Newton-Raphson

Aquí está el código y la solución de Maxima usando Newton-Raphson con cálculo de precisión arbitrario para obtener 90 dígitos decimales: