Cómo demostrar que 24 | p ^ 2-q ^ 2 para todos los primos p y q mayores que 5

Answer 1

Estoy asumiendo que [math] p> q [/ math].

Use el hecho de que los números primos mayores que 5 se pueden representar como [matemática] 6k + 1 [/ matemática] o [matemática] 6k + 5 [/ matemática].

Aunque lo contrario no es cierto. Todos los números de la forma [matemática] 6k + 1 [/ matemática] y [matemática] 6k + 5 [/ matemática] no son primos.

Te mostraría uno de los cuatro casos posibles.

Digamos que [matemáticas] p = 6a + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] q = 6b + 1. [/ Matemáticas]

[matemáticas] p ^ {2} – q ^ {2} = (pq) (p + q) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (6a + 1-6b-1) (6a + 1 + 6b + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (6a-6b) (6a + 6b + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 12 (ab) (3a + 3b + 1) [/ matemáticas]

Si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​pares o impares, entonces 2 divide [math] ab [/ math].

Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​de tipo opuesto (uno par, uno impar), entonces 2 divide [matemática] 3a + 3b + 1 [/ matemática].

Por lo tanto, [matemáticas] 2 | (ab) [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 | (3a + 3b + 1) [/ matemáticas].

[matemáticas] \ por lo tanto p ^ {2} – q ^ {2} = 12 \ veces 2 \ veces X [/ matemáticas]. para algunos [math] X \ in \ mathbb {N} [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto 24 | p ^ {2} – q ^ {2} [/ matemáticas].

Podría usar la misma idea para el resto de los tres casos. Muy claro.

Avíseme si me perdí algo o si algo es incorrecto.

Answer 2

Suponga que [math] n \ in \ mathbb Z [/ math] tal que [math] \ gcd (n, 6) = 1 [/ math].

Entonces [math] n [/ math] es impar , de modo que [math] n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4k (k + 1) +1 \ equiv 1 \ mod {8} [/ math].

Como [matemática] 3 \ nmid n [/ matemática], [matemática] 3 \ mid (n-1) [/ matemática] o [matemática] 3 \ mid (n + 1) [/ matemática], de modo que [matemática] 3 \ mid (n ^ 2–1) [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] 24 \ mid (n ^ 2–1) [/ matemáticas].

Como [math] p [/ math], [math] q [/ math] son números primos mayores que [math] 5 [/ math], [math] \ gcd (p, 6) = \ gcd (q, 6) = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] 24 \ mid (p ^ 2–1) [/ matemáticas] y [matemáticas] 24 \ mid (q ^ 2–1) [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] 24 \ mid \ big ((p ^ 2–1) – (q ^ 2–1) \ big) = (p ^ 2-q ^ 2) [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Escribamos primero [matemáticas] p ^ 2 – q ^ 2 = (pq) (p + q) [/ matemáticas]

Como [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son ​​números primos (impares, ambos son mayores que 5), tanto [math] (pq) [/ math] como [math] (p + q ) [/ math] será un número par, por lo que ambos tendrán un factor de [math] 2 [/ math]. Pero, Mi reclamo es que uno de los números será divisible por [matemáticas] 4 [/ matemáticas] también. ¿Puedes ver por qué? (Si no, lea la parte explicativa)
Entonces, obtuvimos [matemáticas] 2 * 4 = 8 [/ matemáticas] como un factor de [matemáticas] (pq) (p + q) [/ matemáticas]. Ahora solo tenemos que demostrar que [math] 3 [/ math] también es un factor de [math] p ^ 2 – q ^ 2 [/ math]

Como [matemática] p> 5 [/ matemática] y [matemática] q> 5 [/ matemática] sabemos que 3 no dividirá ni [matemática] p [/ matemática] ni [matemática] q [/ matemática] (si no [ matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] no serán primos)
Entonces, podemos expresar [matemática] p = -1 [/ matemática] [matemática] mod [/ matemática] [matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] q = -1 [/ matemática] [matemática] mod [/ matemáticas] [matemáticas] 3 [/ matemáticas]

así obtenemos [matemática] p ^ 2 – q ^ 2 = 0 [/ matemática] [matemática] mod [/ matemática] [matemática] 3 [/ matemática], entonces 3 también es un factor de [matemática] (p ^ 2 -q ^ ​​2) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] 3 * 8 [/ matemática] también divide [matemática] (p ^ 2 – q ^ 2). [/ Matemática]

prueba de la reclamación: si consideramos [matemáticas] p [/ matemáticas] [matemáticas]> q [/ matemáticas] entonces [matemáticas] p [/ matemáticas] [matemáticas] = q + 4n [/ matemáticas] o [matemáticas] p = q + 4n + 2 [/ matemáticas] para [matemáticas] n = 0,1,2 .. [/ matemáticas] etc.

Si [matemática] p [/ matemática] [matemática] = q + 4n [/ matemática] entonces ([matemática] pq) [/ matemática] contiene [matemática] 4 [/ matemática] como factor.

Si [math] p = q + 4n + 2 [/ math] entonces [math] (p + q) = (2q + 4n + 2) [/ math], pero podemos escribir [math] q [/ math] como [matemática] q = 2k + 1 [/ matemática] para algunos [matemática] k [/ matemática] (como [matemática] q [/ matemática] es impar)

así [matemáticas] (p + q) = (4k + 2 + 4n + 2) [/ matemáticas] [matemáticas] = 4 (k + n + 1) [/ matemáticas] contiene [matemáticas] 4 [/ matemáticas] como un factor

Answer 4

Cualquier número primo mayor que [math] 3 [/ math] puede escribirse en forma [math] 6k \ pm 1 [/ math].

Sea [math] p = 6k_p \ pm 1 [/ math] y [math] q = 6k_q \ pm 1 [/ math]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ begin {align} p ^ 2-q ^ 2 & = (6k_p \ pm 1) ^ 2 – (6k_q \ pm 1) ^ 2 \\ \\ & = 36 (k_p ^ 2-k_q ^ 2) \ pm 12 (k_p \ pm k_q) \\ \\ & = 12 \ left [3 (k_p-k_q) (k_p + k_q) \ pm (k_p \ pm k_q) \ right] \\ \\ & = 12 (k_p \ pm k_q) \ left [3 (k_p \ mp k_q) \ pm 1 \ right] \ end {align} [/ math]

Ayuda que tengamos un factor [matemática] 12 [/ matemática]. Ahora simplemente tenemos que demostrar que

[matemáticas] \ qquad (k_p \ pm k_q) \ left [3 (k_p \ mp k_q) \ pm 1 \ right] [/ math]

incluso. Podemos hacerlo considerando dos posibles casos:

• Si [math] k_p [/ math] y [math] k_q [/ math] son ​​impares o pares, entonces [math] (k_p \ pm k_q) [/ math] es par.
• Si uno de [math] k_p [/ math] y [math] k_q [/ math] es impar y el otro es par, entonces [math] k_p \ mp k_q [/ math] es impar y, por lo tanto, [math] 3 (k_p \ mp k_q) \ pm 1 [/ math] es par.

Esto implica que, en todos los casos posibles, [matemática] (k_p \ pm k_q) \ izquierda [3 (k_p \ mp k_q) \ pm 1 \ derecha] [/ matemática] es par y, por lo tanto, [matemática] p ^ 2-q ^ 2 [/ math] es divisible por [math] 24 [/ math].