¿Por qué es tan importante la hipótesis de Riemann?

Gane un millón de dólares con matemáticas, No. 1: La hipótesis de Riemann [1]

El primer rompecabezas matemático de un millón de dólares se llama la hipótesis de Riemann. Propuesto por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, ofrece información valiosa sobre los números primos, pero se basa en un paisaje matemático inexplorado. Si puede demostrar que su camino matemático siempre será cierto, $ 1m (£ 600,000) es todo suyo.

Los matemáticos están obsesionados con los números primos porque son la base de todos los demás números. Los números primos en matemáticas son como átomos en química, ladrillos en la industria de la construcción y ridículos cheques salariales en el fútbol profesional. Todo se construye a partir de estas unidades fundamentales y puede investigar la integridad de algo observando de cerca las unidades de las que está hecho. Para investigar cómo se comporta un número, observe sus factores primos, por ejemplo, 63 es 3 x 3 x 7. Los primos no tienen factores: son tan simples como los números.

Son simples en este aspecto, pero por lo demás son extremadamente enigmáticos y se escapan justo cuando crees que puedes controlarlos. Parte del problema es que, por definición, no tienen factores, que normalmente es el primer punto de apoyo para investigar un problema numérico. Esta es también la clave de su utilidad. Es su dificultad de comprender lo que convierte a los números primos en la base de nuestra seguridad de la información moderna. Cada vez que usa un cajero automático o visita un sitio web seguro, son los números primos los que cifran su información y hacen que sea extremadamente difícil para cualquier otra persona sacarla del cifrado electrónico.

Los números primos también tienen el molesto hábito de no seguir ningún patrón. 3.137 es primo y el siguiente después de eso no es hasta 3.163, pero luego 3.167 y 3.169 aparecen repentinamente en rápida sucesión, seguidas de otra brecha hasta 3.187. Si encuentra un número primo, no hay forma de saber dónde está el siguiente sin verificar todos los números a medida que avanza. Una posible forma de saber cómo están espaciados los números primos es calcular, para cualquier número, cuántos números primos son más pequeños. Esto es exactamente lo que hizo Riemann en 1859: encontró una fórmula que calcularía cuántos números primos hay por debajo de cualquier umbral dado.

Ecuación de la función Zeta Fotografía: Guardian

La fórmula de Riemann se basa en lo que se llama los “ceros de la función Zeta”. La función Zeta es una función que comienza con dos coordenadas cualquiera y realiza un cálculo establecido en ellas para devolver un valor. Si imagina que las dos coordenadas iniciales son valores para la latitud y la longitud, por ejemplo, la función Zeta devuelve la altitud para cada punto, formando una especie de paisaje matemático lleno de colinas y valles. Riemann estaba explorando este paisaje cuando notó que todos los lugares que tienen altitud cero (puntos en el “nivel del mar” en nuestro ejemplo) se encuentran a lo largo de una línea recta con una “longitud” de 0.5, lo cual fue completamente inesperado. Es como si todos los lugares en Inglaterra que están al nivel del mar (ignorando la costa) están en una línea recta muerta que corre directamente al norte a lo largo de la línea de longitud 0.5.

Riemann utilizó estos ceros como parte de su fórmula de distribución principal, pero el problema es que nadie sabe con certeza que todos los ceros están en la misma línea recta. Claro, los matemáticos han comprobado que los primeros diez billones de ceros caen en esa línea, pero eso no garantiza que el diez billonésimo y un cero puedan estar en otro lugar, arrojando toda la fórmula de distribución principal por la ventana proverbial, junto con grandes cantidades de teoría de los números. Es por eso que hay un premio de $ 1 millón para cualquiera que pueda demostrar que todos los ceros de la Función Zeta se alinean en la “línea 0.5” sin recurrir a la tarea imposible de caminar a lo largo de esta línea infinita para verificar.

Te he dado la función Zeta para que comiences y si desempolvas un poco de matemática de “variables complejas”, estarás en camino de explorar el paisaje de Riemann. Sin embargo, si eso es un poco demasiado, aquí hay un problema de inicio más fácil: todos los números primos (mayores que cinco) al cuadrado son uno más que un múltiplo de 24. Verifíquelo por unos pocos: funciona. Incluso puede probar que funciona para todos los números infinitos de primos.

Ahora, si puedes hacer eso por los ceros Zeta, puedes dejar de patear una pelota de fútbol en el frío con la esperanza de un gran día de pago.

Espero que esto ayude.

Notas al pie

[1] Gane un millón de dólares con las matemáticas, No. 1: La hipótesis de Riemann | Matt Parker

“¡Reflexiona sobre la maravillosa Serie Armónica!” 🙂

¿Por qué es importante la hipótesis de Riemann? Aquí hay una razón importante: ¡Hay varios cientos de teoremas matemáticos importantes que suponen que la Hipótesis de Riemann (RH) es cierta! Y eso es mucha matemática rica que será inválida si RH es falsa.

Consulte los siguientes enlaces de referencia para obtener una explicación detallada:

La respuesta de Mark Morales a ¿Alguien recibiría el Premio Nobel si resolviera la hipótesis de Riemann?

https://www.linkedin.com/pulse/d… .

La respuesta del diputado Benowitz a De las dos descripciones, una variedad o una red, ¿cuál describe mejor el campo de la materia, la energía y la información?

Series armónicas (matemáticas);

Prueba de la hipótesis de Riemann;

¿Por qué es cierta la hipótesis de Riemann?

La respuesta de David Cole a De las dos descripciones, una variedad o una red, ¿cuál describe mejor el campo de la materia, la energía y la información?

Nota: Algunos enlaces pueden ser difíciles de alcanzar.

Se trata de la distribución de los números primos. La función zeta de Riemann es la forma analítica del teorema fundamental de la aritmética. La hipótesis de Riemann es equivalente a una estimación razonable de la distribución de números primos.

Por cierto, una prueba de la hipótesis de Riemann puede no ser muy difícil en absoluto, si esperamos que nuestra prueba de la hipótesis de Riemann sea pronto reconocida.

Lo único nuevo es que las funciones pseudo-Gamma son funciones analíticas complicadas pero elementales para ayudar a nuestra prueba.

Por favor vea mi respuesta a otra pregunta:

¿Alguien puede probar o refutar la hipótesis de Riemann?

Para los no matemáticos, esto parece mucho alboroto por nada.

Hay una función llamada función Riemann Zeta, denominada “\ zeta (s)”, que se define para números complejos (es decir, puede enchufar i por ejemplo, y está totalmente bien). La hipótesis de Riemann es una declaración sobre dónde \ zeta (s) es igual a cero. Por sí solo, las ubicaciones de los ceros no son importantes. Sin embargo, hay muchos teoremas en la teoría de números que son importantes (principalmente sobre números primos) que se basan en propiedades de \ zeta (s), incluido dónde está y no es cero.

Por ejemplo, el teorema del número primo, que habla de otra función con nombre de letra griega, \ pi (x). \ pi (x) se define como el número de primos menores o iguales que x. Entonces, por ejemplo, \ pi (6) = 3 (2, 3 y 5 son primos y menores que 6). \ pi (x) es mucho más útil de lo que parece a primera vista. Desafortunadamente, no podemos dar una ecuación explícita para \ pi (x), pero la hipótesis de Riemann es instrumental para demostrar la eficacia de las técnicas que lo estiman eficiente y (bastante) bien.

Para que no pienses que los números primos no son importantes; Muchas organizaciones, incluida la NSA, se apoderan de todos los teóricos de números que pueden obtener para investigar este tipo de cosas. Desde finales de los años 70, incluso han estado tratando de clasificar las pruebas matemáticas, o declarar ciertos algoritmos como “municiones”, para que no se puedan escribir y tomar en alta mar. Esto, por cierto, es inaudito en los círculos matemáticos y científicos. Los matemáticos y los informáticos, siendo un grupo extraño (quiero decir, ¿has visto a sus personajes WoW?), En general se han negado a seguir el juego.

La matemática de números primos realmente ha cobrado importancia en las últimas décadas, ya que las cosas digitales se parecen cada vez menos a una moda pasajera. Por ejemplo, los teléfonos celulares (que son como teléfonos normales, pero con menos cables), esencialmente no funcionarían sin una comunicación de espectro extendido (para reducir el ruido) y “secuencias de residuos cuadráticos” (para eliminar la conversación cruzada) que se basa en ¡Algunas propiedades de los primos para permitir que múltiples señales digitales funcionen en la misma banda de frecuencia! ¡Buenos tiempos!

Hay una gran cantidad de conjeturas que se convertirán en teoremas cuando (o si) hay una prueba de la hipótesis de Riemann. Algunos ejemplos son:

  • Gran conjetura de primer espacio
  • Crecimiento de las funciones aritméticas y totient de Euler
  • Distribución de números primos

(Puede encontrar más ejemplos en línea fácilmente)

También hay algunos teoremas importantes que tendrían pruebas “más fáciles” utilizando la hipótesis de Riemann. Por ejemplo: la débil conjetura de Goldbach tenía una prueba asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann en 1923 (por Hardy y Littlewood) y solo obtuvo una prueba sin ella en 2013 (por Harald Helfgott).

En términos muy simples, la hipótesis de Riemann se trata principalmente de la distribución de números primos. La importancia de la hipótesis de Riemann es que nos dice mucho sobre cuán caóticos son realmente los números primos.
Proporciona estimaciones precisas sobre el término restante en el teorema del número primo: [matemática] \ pi (x) = Li (x) + \ matemática {O} (\ sqrt {x} log (x)) [/ matemática] donde [math] Li (x) [/ math] es la integral logarítmica (la integral de 2 a x de [math] \ frac {1} {log (t)} [/ math]). También ayuda a estimar brechas entre primos. La hipótesis de Riemann implica [matemática] p_ {k + 1} -p_k = \ matemática {O} \ sqrt {p_k} log (p_k) [/ matemática] donde [matemática] p_k [/ matemática] es la [matemática] k [/ matemáticas] primo

PD: lea sobre el problema en Stack y desbordamiento

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