Gane un millón de dólares con matemáticas, No. 1: La hipótesis de Riemann [1]
El primer rompecabezas matemático de un millón de dólares se llama la hipótesis de Riemann. Propuesto por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, ofrece información valiosa sobre los números primos, pero se basa en un paisaje matemático inexplorado. Si puede demostrar que su camino matemático siempre será cierto, $ 1m (£ 600,000) es todo suyo.
Los matemáticos están obsesionados con los números primos porque son la base de todos los demás números. Los números primos en matemáticas son como átomos en química, ladrillos en la industria de la construcción y ridículos cheques salariales en el fútbol profesional. Todo se construye a partir de estas unidades fundamentales y puede investigar la integridad de algo observando de cerca las unidades de las que está hecho. Para investigar cómo se comporta un número, observe sus factores primos, por ejemplo, 63 es 3 x 3 x 7. Los primos no tienen factores: son tan simples como los números.
Son simples en este aspecto, pero por lo demás son extremadamente enigmáticos y se escapan justo cuando crees que puedes controlarlos. Parte del problema es que, por definición, no tienen factores, que normalmente es el primer punto de apoyo para investigar un problema numérico. Esta es también la clave de su utilidad. Es su dificultad de comprender lo que convierte a los números primos en la base de nuestra seguridad de la información moderna. Cada vez que usa un cajero automático o visita un sitio web seguro, son los números primos los que cifran su información y hacen que sea extremadamente difícil para cualquier otra persona sacarla del cifrado electrónico.
- Defina la función Goldbach [matemática] g (n) [/ matemática] como el número de representaciones de [matemática] n [/ matemática] como la suma de dos primos [matemática] p + q [/ matemática], con [matemática] p \ geq q [/ math]. El documento vinculado muestra que para cualquier [matemática] n> 210 [/ matemática], [matemática] g (n) <\ pi (n-2) – \ pi (n / 2-1 / 2) [/ matemática]. ¿Qué más se sabe acerca de qué tan rápido crece [math] g (n) [/ math] con [math] n [/ math]?
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Los números primos también tienen el molesto hábito de no seguir ningún patrón. 3.137 es primo y el siguiente después de eso no es hasta 3.163, pero luego 3.167 y 3.169 aparecen repentinamente en rápida sucesión, seguidas de otra brecha hasta 3.187. Si encuentra un número primo, no hay forma de saber dónde está el siguiente sin verificar todos los números a medida que avanza. Una posible forma de saber cómo están espaciados los números primos es calcular, para cualquier número, cuántos números primos son más pequeños. Esto es exactamente lo que hizo Riemann en 1859: encontró una fórmula que calcularía cuántos números primos hay por debajo de cualquier umbral dado.
Ecuación de la función Zeta Fotografía: Guardian
La fórmula de Riemann se basa en lo que se llama los “ceros de la función Zeta”. La función Zeta es una función que comienza con dos coordenadas cualquiera y realiza un cálculo establecido en ellas para devolver un valor. Si imagina que las dos coordenadas iniciales son valores para la latitud y la longitud, por ejemplo, la función Zeta devuelve la altitud para cada punto, formando una especie de paisaje matemático lleno de colinas y valles. Riemann estaba explorando este paisaje cuando notó que todos los lugares que tienen altitud cero (puntos en el “nivel del mar” en nuestro ejemplo) se encuentran a lo largo de una línea recta con una “longitud” de 0.5, lo cual fue completamente inesperado. Es como si todos los lugares en Inglaterra que están al nivel del mar (ignorando la costa) están en una línea recta muerta que corre directamente al norte a lo largo de la línea de longitud 0.5.
Riemann utilizó estos ceros como parte de su fórmula de distribución principal, pero el problema es que nadie sabe con certeza que todos los ceros están en la misma línea recta. Claro, los matemáticos han comprobado que los primeros diez billones de ceros caen en esa línea, pero eso no garantiza que el diez billonésimo y un cero puedan estar en otro lugar, arrojando toda la fórmula de distribución principal por la ventana proverbial, junto con grandes cantidades de teoría de los números. Es por eso que hay un premio de $ 1 millón para cualquiera que pueda demostrar que todos los ceros de la Función Zeta se alinean en la “línea 0.5” sin recurrir a la tarea imposible de caminar a lo largo de esta línea infinita para verificar.
Te he dado la función Zeta para que comiences y si desempolvas un poco de matemática de “variables complejas”, estarás en camino de explorar el paisaje de Riemann. Sin embargo, si eso es un poco demasiado, aquí hay un problema de inicio más fácil: todos los números primos (mayores que cinco) al cuadrado son uno más que un múltiplo de 24. Verifíquelo por unos pocos: funciona. Incluso puede probar que funciona para todos los números infinitos de primos.
Ahora, si puedes hacer eso por los ceros Zeta, puedes dejar de patear una pelota de fútbol en el frío con la esperanza de un gran día de pago.
Espero que esto ayude.
Notas al pie
[1] Gane un millón de dólares con las matemáticas, No. 1: La hipótesis de Riemann | Matt Parker