Hay al menos dos formas de interpretar esta pregunta. Lo más obvio es para cuántos enteros positivos [matemática] a, b, n [/ matemática] es [matemática] a ^ n + b ^ n [/ matemática] un número primo. Al observar el caso [matemática] n = 1 [/ matemática], queda claro que hay infinitos casos de este tipo.
La siguiente interpretación más obvia es esta: si arreglamos [matemática] n [/ matemática], para cuántos enteros positivos [matemática] a, b [/ matemática] es [matemática] a ^ n + b ^ n [/ matemática] un número primo: en otros, estamos interesados en la función de conteo sobre [matemáticas] n [/ matemáticas], que denotaré por [matemáticas] F (n) [/ matemáticas].
Ya mostramos que [math] F (1) = \ infty [/ math]. No es demasiado difícil demostrar que [math] F (2) = \ infty [/ math] también: para hacer esto, debes saber dos cosas: primero, que un primo [math] p> 2 [/ matemática] es la suma de dos cuadrados si y solo si tiene la forma [matemática] 4k + 1 [/ matemática] para algún número entero [matemática] k [/ matemática], y necesita saber que hay infinitos primos El primero es el teorema clásico de Fermat sobre sumas de cuadrados, y puede demostrarse por medios bastante elementales; la segunda afirmación es en realidad aún más fácil, y puede demostrarse mediante una ligera adaptación de la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos.
¿Qué pasa con [matemáticas] F (3) [/ matemáticas]? Esto ya es más difícil, ya que [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 – ab + b ^ 2) [/ matemáticas]. Esto puede ser primo si y solo si [matemática] a ^ 2 – ab + b ^ 2 = 1 [/ matemática], y solo hay finitamente muchas soluciones enteras para esta ecuación, de hecho, ya que [matemática] a, b > 0 [/ matemática], la única posibilidad es que [matemática] a = b = 1 [/ matemática]. En consecuencia, [matemáticas] F (3) = 1 [/ matemáticas]. Lo dejaré como un ejercicio para mostrar que para cualquier número entero [matemáticas] n [/ matemáticas] divisible por al menos un primo impar, [matemáticas] F (n) = 1 [/ matemáticas].
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- Dado un entero positivo [matemática] n [/ matemática], encuentre la secuencia más corta [matemática] a_0 = 1, a_1, a_2, \ ldots, a_k = n [/ matemática] donde para cada [matemática] i> 0 [/ matemática ], [matemáticas] a_i = a_j + a_k [/ matemáticas] con [matemáticas] j, k <i [/ matemáticas]. Suponga que [matemática] n <3000 [/ matemática]. Sin leer la teoría, ¿cómo abordarías esto como un desafío de codificación?
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Esto deja la cuestión de determinar [matemáticas] F (2 ^ k) [/ matemáticas] para [matemáticas] k> 1 [/ matemáticas]. Esto es sorprendentemente difícil. La evidencia experimental y la heurística sugieren que [matemáticas] F (2 ^ k) = \ infty [/ matemáticas], esto es equivalente a la afirmación de que [matemáticas] F (2 ^ k) \ geq 2 [/ matemáticas] para todas [matemáticas ] k> 0 [/ math], ya que, por supuesto, si podemos escribir un primo [math] p [/ math] como [math] a ^ {2 ^ k} + b ^ {2 ^ k} [/ math], esto también da una descomposición [matemática] p = \ left (a ^ 2 \ right) ^ {2 ^ {k – 1}} + \ left (b ^ 2 \ right) ^ {2 ^ {k – 1}} [ /matemáticas]. Sin embargo, que yo sepa, ¡este es un problema abierto!
De hecho, solo fue probado en 1998 por Friedlander e Iwaniec (ver https://arxiv.org/pdf/math/98111…) que hay infinitos números primos de la forma [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 4 [/ matemáticas]: esa prueba se basó en una teoría de tamiz bastante sofisticada.
Supongo que determinar [matemáticas] F (2 ^ k) [/ matemáticas] para [matemáticas] k> 1 [/ matemáticas] puede ser posible con herramientas modernas, pero esperaría que fuera muy, muy difícil.