¿Cuál es el entero positivo más pequeño que deja restos de 3, 4 y 5 cuando se divide respectivamente por 5, 7 y 9?

Answer 1

En tales preguntas de múltiples divisores y restos múltiples, necesitamos operar con un par a la vez y luego proceder de manera inclusiva.

Deje que el número que estamos tratando de encontrar sea “N”

Paso 1: “N” deja el resto 3 cuando se divide entre 5. Entonces, [matemáticas] N = (5 \ veces P) + 3 [/ matemáticas]

Todos los números que forman parte de esta secuencia se pueden enumerar como:

• 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, etc.

Paso 2: De la secuencia anterior, debemos seleccionar los números que dejan el resto 4 cuando se divide por 7.

Todos los números que satisfacen se pueden enumerar como:

• 18, 53, 88, 123, 158, 193. ……. pronto.

Nota:

1. “N” debe satisfacer ambas condiciones. Entonces seleccionaremos solo de la secuencia anterior
2. Podemos ver que la serie es una progresión aritmética y la diferencia común es LCM (5,7) = 35

Paso 3: De la secuencia anterior, debemos seleccionar los números que dejan el resto 5 cuando se divide por 9.

Todos los números que satisfacen se pueden enumerar como:

• 158, 473, 788 … pronto.
• Aquí la diferencia común = LCM (5, 7, 9) = 315

Entonces, el número más pequeño es [matemáticas] N = 158 [/ matemáticas] ( Respuesta )

Answer 2

Déjame probar un resultado más general.

Deje [math] n \ in \ mathbb N [/ math]. Luego, el conjunto de todos los enteros que dejan restos [matemática] n + 1 [/ matemática], [matemática] n + 2 [/ matemática], [matemática] n + 3 [/ matemática] cuando se divide por [matemática] 2n + 1 [/ matemática], [matemática] 2n + 3 [/ matemática], [matemática] 2n + 5 [/ matemática], respectivamente es

[matemáticas] \ {N + kM: k \ in \ mathbb Z \} [/ matemáticas],

donde [matemáticas] M = (2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) [/ matemáticas] y [matemáticas] N = \ frac {1} {2} (M + 1) [/ matemáticas].

En particular, el entero positivo más pequeño es [matemática] N [/ matemática].

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Buscamos [matemáticas] N [/ matemáticas] de modo que

[matemáticas] N \ equiv n + 1 \ pmod {2n + 1} [/ matemáticas],

[matemáticas] N \ equiv n + 2 \ pmod {2n + 3} [/ matemáticas],

[matemática] N \ equiv n + 3 \ pmod {2n + 5} \ ldots (1) [/ matemática]

Observe que cada uno de [matemática] 2n + 1 [/ matemática], [matemática] 2n + 3 [/ matemática], [matemática] 2n + 5 [/ matemática] divide [matemática] 2N-1 [/ matemática], y que [matemática] 2n + 1 [/ matemática], [matemática] 2n + 3 [/ matemática], [matemática] 2n + 5 [/ matemática] son pares primos [matemática] ([/ matemática] el mcd de cualquier par debe dividirse su diferencia, que es [matemática] 2 [/ matemática] o [matemática] 4 [/ matemática], mientras que cada uno de estos números es impar [matemática]) [/ matemática].

De ello se deduce que [math] 2N-1 [/ math] es un múltiplo de su mcm , que es su producto [math] M [/ math]. Multiplicando ambos lados de la congruencia

[matemáticas] 2N \ equiv 1 \ pmod {M} [/ matemáticas]

por [matemática] \ frac {M + 1} {2} [/ matemática] da [matemática] N \ equiv \ frac {M + 1} {2} \ pmod {M} [/ matemática].

Por lo tanto, el entero positivo más pequeño es [math] \ frac {M + 1} {2} [/ math].

Además, si [math] N_1 [/ math] y [math] N_2 [/ math] son ​​dos enteros que resuelven simultáneamente la ecuación. [matemática] (1) [/ matemática], entonces [matemática] N_1-N_2 [/ matemática] es un múltiplo común de [matemática] 2n + 1 [/ matemática], [matemática] 2n + 3 [/ matemática], [ matemática] 2n + 5 [/ matemática], y por lo tanto de su mcm [matemática] M [/ matemática]. Por lo tanto, [math] N_1 \ equiv N_2 \ pmod {M} [/ math], de modo que el conjunto de todas las soluciones se obtiene sumando o restando múltiplos enteros de [math] M [/ math] de la solución [math] N [ /matemáticas]. Este es el conjunto [math] \ {N + kM: k \ in \ mathbb Z \} [/ math] [math]. [/ math] [math] \ blacksquare [/ math]

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Para el conjunto de números dado, [matemática] n = 2 [/ matemática], [matemática] M = 5 \ cdot 7 \ cdot 9 = 315 [/ matemática] y [matemática] N = \ frac {M + 1} {2} = 158 [/ matemáticas].

Observación. El mismo método se extiende al caso cuando todos los módulos son impares y primos por pares .

Answer 3

Esta es una pregunta que aparece mucho en varias clases de matemáticas, especialmente en álgebra compleja, y puede resolverse usando un método muy simple y general.

Primero, haga una tabla de valores dados para que pueda identificar cualquier relación.

Puede ver arriba que cuando compara las filas consecuentes y aplica la fórmula de la pendiente o (y2 – y1) / (x2 – x1), el resultado es el mismo en todos los casos … 1/2!

Ahora que sabe que la pendiente es 1/2, la regla para recordar es que el cambio en el divisor debe ser el mismo que el cambio en el resto para llegar a la respuesta. Para hacer esto, recuerde que duplicando (o triplicando, etc. dependiendo de la pendiente) el número (llamémoslo “x”) comienza con resultados en restos duplicados (o triplicados) también. Ahora tenemos:

Como resultado de esta manipulación, podemos ver que cada resto es 1 más que su divisor correspondiente (no podríamos garantizar esta relación si los cambios en la tasa no hubieran sido los mismos). Esto significa que, por regla general, el número 2x – 1 (en este caso) dejará un resto de 0 cuando se divida por cualquiera de los divisores anteriores. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 5, 7 y 9 es igual a 2x – 1.

> 2x – 1 = 5 * 7 * 9 = 315

> 2x = 316

> x = 158

Verifiquemos y asegúrese de obtener la respuesta correcta (nota -% significa mod):

158% 5 = 3

158% 7 = 4

158% 9 = 5

¡Recuerde, puede aplicar este método a casi cualquier problema como este! Todo se basa en la pendiente que encuentre.

¡Espero que esto ayude!

Answer 4

Deja que el número sea x

C.A,

x = 5p + 3 = 7q + 4 = 9r + 5

Implica,

5p + 3 = 9r + 5

7q + 4 = 9r + 5

Implica,

p = (9r + 2) / 5

q = (9r + 1) / 7

p, q, r son números naturales.

Por golpe y prueba, el valor mínimo de r que hace que p, q números naturales es 17.

Por lo tanto, el número requerido es 9r + 5, o 158.

Answer 5

Esta parece ser una pregunta muy fácil si eres un verdadero amante de las matemáticas …

Según la pregunta, mis divisores son 5, 7 y 9

Y los restantes son 3, 4 y 5

Como sabemos la regla,

Dividendo = (Divisor × quetiont) + resto

Por lo tanto, para el primer caso,

Suponiendo que mi pregunta sea ‘x’

Dividendo = 5x + 3 ……………. (1)

Del mismo modo para el segundo caso,

Suponiendo que mi pregunta sea ‘y’ en este caso,

Dividendo = 7y + 4 ……. ……. (2)

Del mismo modo para el 3er,

Dividendo = 9z + 5 ………. (3)

Ahora asigne un valor aleatorio a ‘z’ y vea la ecuación 1 y 2, de mi prueba obtuve z = 17 e y = 22, yx = 11.

Este no. = 5x + 3 = 5 × 11 + 3 = 158.

Entonces 158 es el no.

Eso es…

Answer 6

3 es el entero positivo más pequeño que cuando se divide por 5 deja 3 como resto.

Ahora queremos agregar un múltiplo de 5, de modo que el remander al dividir entre 7 sea igual a 4.

15-14 = 1.

15 + 3 = 18 tiene un resto de 3 cuando se divide por 5 y 4 cuando se divide por 7.

3 * 7 = 35.

Si sumamos (o restamos) múltiplos de 35, no cambiaremos los restos al dividir entre 7 o entre 5.

18 tiene el resto 0 cuando se divide por 9.

35-36 = -1.

18 + 35 tendrá el resto 8 cuando se divida entre 9.

18 + 2 * 35 tendrá resto 7

18 + 4 (35) = 158 tendrá el resto 5.

Answer 7

Deje que el número sea x.

x / 5 = p +3 como resto

x / 7 = q +4 como resto

x / 9 = r +5 como resto

o x = 5p + 3 … (1)

x = 7q + 4 .. (2)

x = 9r + 5 … (3)

Podemos asignar diferentes enteros para decir cualquier término: r en (3), y ver (2) y (3) dan p y q como enteros. Después de algunas pruebas, encontré que r = 17 y los valores correspondientes de p eran 31 y q eran 22. Por lo tanto, x = 158.

Answer 8

Deje que el número sea x.

x / 5 = p +3 como resto

x / 7 = q +4 como resto

x / 9 = r +5 como resto

o x = 5p + 3 … (1)

x = 7q + 4 .. (2)

x = 9r + 5 … (3)

Podemos asignar diferentes enteros para decir cualquier término: r en (3), y ver (2) y (3) dan p y q como enteros. Después de algunas pruebas, encontré que r = 17 y los valores correspondientes de p eran 31 y q eran 22. Por lo tanto, x = 158.

Answer 9

Como sabemos que debe haber un resto de 3 cuando se divide entre 5, sabemos que el número entero debe terminar con 3 u 8. El primer dígito que encontré que se ajustaba al otro criterio fue 158.