Deje que [matemáticas] x [/ matemáticas], y [matemáticas] y [/ matemáticas], y [matemáticas] z [/ matemáticas] sean números reales que satisfagan [matemáticas] \ frac {x} {y + z} + \ frac { y} {z + x} + \ frac {z} {x + y} = 1 [/ math] ¿Cuál es el valor mínimo de [math] \ frac {x ^ 2} {y + z} + \ frac {y ^ 2} {z + x} + \ frac {z ^ 2} {x + y}? [/ Matemáticas]

Answer 1

Esto es similar a la famosa [matemática] \ frac {x} {{y + z}} + \ frac {y} {{z + x}} + \ frac {z} {{x + y}} = 4 [ /matemáticas]. Uno de mis intentos fallidos de resolver eso fue multiplicar ambos lados por [matemáticas] x + y + z. [/ Matemáticas] Hacerlo proporciona una maravillosa mutación maravillosa. Aumenta los exponentes en la parte superior en 1. Después de ver un patrón, puede retroceder y reemplazar las partes superiores con 1. Investiguemos los éxitos y fracasos que tuvo este procedimiento.

Suponer

[matemáticas] \ frac {{{x ^ n}}} {{y + z}} + \ frac {{{y ^ n}}} {{x + z}} + \ frac {{{z ^ n} }} {{x + y}} = {P_n} [/ matemáticas]

Si aplicamos esa idea a esta ecuación, obtenemos

[matemáticas] \ frac {{{x ^ {n + 1}}}} {{y + z}} + \ frac {{{y ^ {n + 1}}}} {{x + y}} + \ frac {{{z ^ {n + 1}}}} {{x + y}} + {x ^ n} + {y ^ n} + {z ^ n} = {P_ {n + 1}} [/ matemáticas].

La técnica parecía prometedora, pero solo es agradable en un par de casos, siendo esta pregunta una de ellas. De vuelta a la pregunta,

[matemáticas] \ frac {{x (x + y + z)}} {{y + z}} + \ frac {{y (x + y + z)}} {{z + x}} + \ frac { {z (x + y + z)}} {{x + y}} = x + y + z [/ matemáticas].

Perder el tiempo

[matemáticas] \ frac {{{x ^ 2}}} {{y + z}} + \ frac {{x (y + z)}} {{y + z}} + \ frac {{{y ^ 2 }}} {{z + x}} + \ frac {{y (x + z)}} {{x + z}} + \ frac {{{z ^ 2}}} {{x + y}} + \ frac {{z (x + y)}} {{x + y}} = x + y + z [/ math].

Y ordenar

[matemáticas] \ frac {{{x ^ 2}}} {{y + z}} + \ frac {{{y ^ 2}}} {{z + x}} + \ frac {{{z ^ 2} }} {{x + y}} + x + y + z = x + y + z [/ math]. De esto, el resultado emerge:

[matemáticas] \ frac {{{x ^ 2}}} {{y + z}} + \ frac {{{y ^ 2}}} {{z + x}} + \ frac {{{z ^ 2} }} {{x + y}} = 0 [/ matemáticas].

Pero, ¿puede el método darnos algo más interesante? Si [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], tenemos,

[matemáticas] \ frac {x} {{y + z}} + \ frac {y} {{x + z}} + \ frac {z} {{x + y}} + 1 + 1 + 1 = {P_1 }[/matemáticas]

de las cuales [matemáticas] {P_1} = 4 [/ matemáticas]

Answer 2

Cuando se trata de funciones simétricas, existen algunas técnicas que pueden ayudar. Por ejemplo, he escrito sobre una de esas técnicas en If [math] x + y + z = 0 [/ math], ¿cómo demuestras que [math] ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) / 2) ((x ^ 5 + y ^ 5 + z ^ 5) / 5) [/ math] [math] = (x ^ 7 + y ^ 7 + z ^ 7) / 7 [/ math]? – Mira las variables como raíces de un polinomio.

Otra técnica relacionada es ver qué funciones simétricas simples pueden ser factores de las que está trabajando. El más simple es [matemática] x + y + z [/ matemática]. Por ejemplo, supongamos que tuvo que lidiar con [matemáticas] (x + y) (y + z) (z + x) + xyz [/ matemáticas]. Suponga que [matemáticas] x + y + z = 0 [/ matemáticas] por el momento. Entonces, puede ver que [math] (- z) (- x) (- y) + xyz = 0 [/ math]. Entonces puede concluir que [matemáticas] x + y + z [/ matemáticas] es un factor y eso lo lleva lejos a establecer que [matemáticas] (x + y) (y + z) (z + x) + xyz = (x + y + z) (xy + yz + zx) [/ matemática].

Ahora, volviendo al problema en cuestión, tenemos [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {y + z} + \ frac {y ^ 2} {z + x} + \ frac {z ^ 2} {x + y} [/ matemáticas]. Supongamos nuevamente que [matemáticas] x + y + z = 0 [/ matemáticas]. Luego tenemos [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {- x} + \ frac {y ^ 2} {- y} + \ frac {z ^ 2} {- z} = – (x + y + z) = 0 [/ matemáticas]. Esto significa que [matemáticas] x + y + z [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {y + z} + \ frac {y ^ 2} {z + x} + \ frac {z ^ 2} {x + y} [/ matemáticas].

Acabado de factorización [matemática] \ frac {x ^ 2} {y + z} + \ frac {y ^ 2} {z + x} + \ frac {z ^ 2} {x + y} [/ math] ahora que Conocer un factor clave es mucho más fácil. Podemos resolverlo directamente o intentar otro truco, sabiendo que queremos aislar [matemáticas] x + y + z [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ sum_ {sym} \ frac {x ^ 2} {y + z} = \ sum_ {sym} \ frac {x (x + y + z) -x (y + z)} {y + z} = (x + y + z) \ sum_ {sym} \ frac {x} {y + z} – \ sum_ {sym} x [/ math]

Finalmente nos quedamos con

[matemáticas] \ sum_ {sym} \ frac {x ^ 2} {y + z} = \ sum_ {sym} x \ times \ left [\ sum_ {sym} \ frac {x} {y + z} – 1 \ derecha] [/ matemáticas]

En este problema en particular, esto es exactamente 0, ¡lo cual es un poco decepcionante! Como otro desafío, intente resolver la desigualdad para [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas].

Answer 3

Deje [matemáticas] S = x + y + z [/ matemáticas]

Módulo I

[matemáticas] \ dfrac x {y + z} + \ dfrac y {z + x} + \ dfrac z {x + y} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {S- (y + z)} {y + z} + \ dfrac {S- (z + x)} {z + x} + \ dfrac {S- (x + y)} {x + y} = 1 \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] S (\ dfrac 1 {y + z} + \ dfrac 1 {z + x} + \ dfrac 1 {x + y}) = 4 …… .. (1) [/ matemáticas]

Módulo II

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {y + z} + \ dfrac {y ^ 2} {z + x} + \ dfrac {z ^ 2} {x + y} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(S- (y + z)) ^ 2} {y + z} + \ dfrac {(S- (z + x)) ^ 2} {z + x} + \ dfrac {( S- (x + y)) ^ 2} {x + y} = 1 \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {S ^ 2–2S (y + z) + (y + z)) ^ 2} {y + z} + \ dfrac {S ^ 2–2S (z + x) + (z + x)) ^ 2} {z + x} + \ dfrac {S ^ 2–2S (x + y) + (x + y)) ^ 2} {x + y} [/ matemáticas]

[matemáticas] = S ^ 2 (\ dfrac 1 {y + z} + \ dfrac 1 {z + x} + \ dfrac 1 {x + y}) – 2S-2S-2S + (y + z + z + x + x + y) [/ matemáticas]

[matemáticas] = S ^ 2 * \ dfrac 4 S-6S + 2S [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4S-6S + 2S [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ en caja {0} [/ matemáticas]

Answer 4