¿Cuáles son las soluciones enteras positivas para [matemáticas] a ^ {b ^ c} = b ^ {ac} [/ matemáticas]?

La expresión [math] b ^ c [/ math] aparece en ambos lados de la ecuación, así que vamos a darle un nombre: [math] n = b ^ c [/ math]. La ecuación ahora se convierte en

[matemáticas] a ^ n = n ^ a [/ matemáticas].

donde [math] n [/ math], como [math] a [/ math], es un número entero positivo. Esta ecuación se discutió en Quora varias [1] veces [2] pero generalmente en el contexto de soluciones reales, en lugar de enteras. Para mantener esta respuesta autónoma, determinemos rápidamente todas esas soluciones enteras.

Claramente podemos hacer que [math] a [/ math] sea cualquier número entero positivo y [math] n = a [/ math].

Cuando [math] a = 1 [/ math], también debemos tener [math] n = 1 [/ math] para que no haya nada nuevo aquí.

Cuando [matemática] a = 2 [/ matemática] la ecuación se convierte en [matemática] 2 ^ n = n ^ 2 [/ matemática]. Esto es cierto cuando [matemática] n = 2 [/ matemática] (no nueva) y [matemática] n = 4 [/ matemática] (nueva), y para ningún otro valor de [matemática] n [/ matemática] desde [matemática ] 2 ^ n [/ matemática] excede [matemática] n ^ 2 [/ matemática] para [matemática] n> 4 [/ matemática] (inducción, o tomar registros).

Cuando [math] a = 3 [/ math] o más tenemos [math] a> e [/ math] que fuerza [math] n <e [/ math] si [math] n [/ math] es diferente de [math] a [/ math] (esto se debe a que [math] x / \ ln (x) [/ math] es una función unimodal, que disminuye monotónicamente para [math] x e [/ matemáticas]). Entonces, el único valor entero posible para [matemática] n [/ matemática] es [matemática] n = 2 [/ matemática], lo que significa [matemática] a ^ 2 = 2 ^ a [/ matemática] que ya hemos resuelto.

En resumen, las soluciones enteras positivas de [matemáticas] a ^ n = n ^ a [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] (a, a) [/ matemáticas] para cualquier [matemáticas] a [/ matemáticas] así como [matemáticas ] (2,4) [/ math] y [math] (4,2) [/ math], y nada más.


Volviendo a la ecuación original.

[matemáticas] \ displaystyle a ^ {b ^ c} = b ^ {ac} [/ matemáticas]

vemos que tenemos las siguientes clases de soluciones:

  1. Elija los enteros positivos [matemática] b, c [/ matemática] que desee y deje que [matemática] a = b ^ c [/ matemática]. Esto corresponde al caso fácil [math] a = n [/ math], y nos da una familia infinita de soluciones, una para cada par [math] (b, c) [/ math].
  2. [matemática] a = 2 [/ matemática], [matemática] b ^ c = 4 [/ matemática] que significa [matemática] a = b = c = 2 [/ matemática] o [matemática] a = 2 [/ matemática] , [matemáticas] b = 4 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas].
  3. [matemática] a = 4 [/ matemática], [matemática] b ^ c = 2 [/ matemática] que significa [matemática] a = 4 [/ matemática], [matemática] b = 2 [/ matemática], [matemática] c = 1 [/ matemáticas].

Y esas son todas las soluciones.

Notas al pie

[1] Si [matemáticas] x ^ y = y ^ x [/ matemáticas] y x e y no son iguales, ¿qué son x e y?

[2] ¿Cómo puedes resolver: [matemáticas] x ^ y = y ^ x [/ matemáticas]?

[matemáticas] a ^ {b ^ c} = b ^ {ac} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a ^ {b ^ c} = b ^ {a ^ c} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a ^ b = b ^ a [/ matemáticas]

Lo cual es cierto para todos [matemáticas] a = b [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación es verdadera

[matemáticas] \ forall a = b [/ matemáticas]

[matemáticas] a, b \ in \ mathbb {I} ^ + [/ matemáticas]

Sea d = b ^ c. Entonces d> 0 y a ^ d = d ^ a. Es bien sabido que las únicas soluciones enteras positivas para a ^ d = d ^ a son: a = d> 0; a = 2, d = 4; a = 4, d = 2. Entonces, todas las soluciones positivas son: a = b ^ c, donde b, c> 0; a = 2, b = 2, c = 2; a = 2, b = 4, c = 1;

a = 4, b = 2, c = 1.

Un conjunto de respuestas es c = 0, a y b pueden ser cualquier cosa, ya que ambos resultados serán x ^ 0 o y ^ 0 = 1.

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