Si la función [matemática] u_n [/ matemática] se define para valores discretos, es decir, [matemática] n = 0,1,2,… [/ matemática] y [matemática] u_n = 0 [/ matemática] para [matemática] n < 0 [/ math], entonces la [math] transformación Z [/ math] la función se define por …
[matemáticas] Z [u_n] = U (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} u_nz ^ {- n} [/ matemáticas], siempre que las series infinitas sean convergentes.
Ahora prueba primero que …
[matemáticas] Z [n ^ p] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [n ^ {p-1}] [/ matemáticas]
- Si el intervalo [matemática] [a, b] [/ matemática] se elige con puntos finales uniformes aleatorios independientes [matemática] a, b \ en [0,1] [/ matemática], y [matemática] n [/ matemática] es el entero positivo más pequeño tal que [matemática] \ existe k \ in \ mathbb {Z}: \ frac {k} {2 ^ n} \ en [a, b] [/ matemática], ¿qué es [matemática] E [n ][/matemáticas]?
- ¿Cuál es la potencia más alta de 2 que divide 200! / 100 !?
- Si una persona quisiera probar la integridad global de la sociedad matemática presentando una prueba real, aunque inédita, de la hipótesis de Riemann sobre Quora, ¿se la consideraría un gran tonto? ¿A alguien le importaría si le siguiera algún plagio?
- ¿Por qué [math] f (n) = n ^ 2-n + 41 [/ math] produce tantos números primos (aproximadamente el 22% de los números son primos para [math] n \ leq 10 ^ 6 [/ math]) ?
- Si 17 ^ 17-n es divisible por 7, ¿cuál es n?
Por definición …
[matemáticas] Z [n ^ p] = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ pz ^ {- n} [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow Z [n ^ p] = z \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {p-1} nz ^ {- (n + 1)}… (1) [/ math]
De nuevo…
[matemáticas] \ dfrac {d} {dz} Z [n ^ {p-1}] = \ dfrac {d} {dz} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {p-1} z ^ {- n} [/ matemáticas]
[matemáticas] = – \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {p-1} nz ^ {- (n + 1)}… (2) [/ matemáticas]
Ahora comparando (1) y (2), obtenemos …
[matemáticas] Z [n ^ p] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [n ^ {p-1}] [/ matemáticas]
Nuevamente tomamos [math] u_n = 1 [/ math], luego, por definición …
[matemáticas] Z [1] = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {- n} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {1- \ dfrac {1} {z}} = \ dfrac {z} {z-1} [/ matemáticas]
Ahora finalmente voy a tu problema …
[matemáticas] Z [n (n-1)] = Z [n ^ 2-n] [/ matemáticas]
[matemáticas] = Z [n ^ 2] -Z [n] [/ matemáticas]
[matemáticas] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [n] + z \ dfrac {d} {dz} Z [1]… (3) [/ matemáticas]
Ahora [matemáticas] Z [n] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [1] [/ matemáticas]
[matemáticas] = – z \ dfrac {d} {dz} [\ dfrac {z} {z-1}] [/ matemáticas]
[matemáticas] = – z \ dfrac {z-1-z} {(z-1) ^ 2} = \ dfrac {z} {(z-1) ^ 2} [/ matemáticas]
Y…
[matemáticas] Z [n ^ 2] = – z \ dfrac {d} {dz} [\ dfrac {z} {(z-1) ^ 2}] [/ matemáticas]
[matemáticas] = – z \ dfrac {(z-1) ^ 2–2 (z-1) z} {(z-1) ^ 4} [/ matemáticas]
[matemáticas] = – z \ dfrac {z-1-2z} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {z (z + 1)} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]
Poniendo esto en (3) obtenemos las soluciones requeridas …
[matemáticas] Z [n (n-1)] = \ dfrac {z (z + 1)} {(z-1) ^ 3} – \ dfrac {z} {(z-1) ^ 2} [/ matemáticas ]
[matemáticas] = \ dfrac {z (z + 1) -z (z-1)} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {2z} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]
El problema ya está hecho.
Si me equivoco, por favor dímelo.