¿Cuál es la transformación z de n (n-1)?

Si la función [matemática] u_n [/ matemática] se define para valores discretos, es decir, [matemática] n = 0,1,2,… [/ matemática] y [matemática] u_n = 0 [/ matemática] para [matemática] n < 0 [/ math], entonces la [math] transformación Z [/ math] la función se define por …

[matemáticas] Z [u_n] = U (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} u_nz ^ {- n} [/ matemáticas], siempre que las series infinitas sean convergentes.

Ahora prueba primero que …

[matemáticas] Z [n ^ p] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [n ^ {p-1}] [/ matemáticas]

Por definición …

[matemáticas] Z [n ^ p] = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ pz ^ {- n} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow Z [n ^ p] = z \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {p-1} nz ^ {- (n + 1)}… (1) [/ math]

De nuevo…

[matemáticas] \ dfrac {d} {dz} Z [n ^ {p-1}] = \ dfrac {d} {dz} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {p-1} z ^ {- n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {p-1} nz ^ {- (n + 1)}… (2) [/ matemáticas]

Ahora comparando (1) y (2), obtenemos …

[matemáticas] Z [n ^ p] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [n ^ {p-1}] [/ matemáticas]

Nuevamente tomamos [math] u_n = 1 [/ math], luego, por definición …

[matemáticas] Z [1] = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {- n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {1- \ dfrac {1} {z}} = \ dfrac {z} {z-1} [/ matemáticas]

Ahora finalmente voy a tu problema …

[matemáticas] Z [n (n-1)] = Z [n ^ 2-n] [/ matemáticas]

[matemáticas] = Z [n ^ 2] -Z [n] [/ matemáticas]

[matemáticas] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [n] + z \ dfrac {d} {dz} Z [1]… (3) [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] Z [n] = – z \ dfrac {d} {dz} Z [1] [/ matemáticas]

[matemáticas] = – z \ dfrac {d} {dz} [\ dfrac {z} {z-1}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = – z \ dfrac {z-1-z} {(z-1) ^ 2} = \ dfrac {z} {(z-1) ^ 2} [/ matemáticas]

Y…

[matemáticas] Z [n ^ 2] = – z \ dfrac {d} {dz} [\ dfrac {z} {(z-1) ^ 2}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = – z \ dfrac {(z-1) ^ 2–2 (z-1) z} {(z-1) ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – z \ dfrac {z-1-2z} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {z (z + 1)} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]

Poniendo esto en (3) obtenemos las soluciones requeridas …

[matemáticas] Z [n (n-1)] = \ dfrac {z (z + 1)} {(z-1) ^ 3} – \ dfrac {z} {(z-1) ^ 2} [/ matemáticas ]

[matemáticas] = \ dfrac {z (z + 1) -z (z-1)} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2z} {(z-1) ^ 3} [/ matemáticas]

El problema ya está hecho.

Si me equivoco, por favor dímelo.

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