¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] \ begin {vmatrix} 2014 ^ {2014} y 2015 ^ {2015} y 2016 ^ {2016} \\ 2017 ^ {2017} y 2018 ^ {2018} y 2019 ^ {2019} \ \ 2020 ^ {2020} y 2021 ^ {2021} y 2022 ^ {2022} \ end {vmatrix} [/ math] se divide por 5?

El objetivo es obtener el último dígito para todos los números en el determinante.

Para el 2014 o simplemente decir 4 va como

[matemáticas] 4 → 16 → 64 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] 4 → 6 → 4 → 6 [/ matemáticas]

Para 2015 o 5 siempre es 5 como

[matemáticas] 5 → 25 → 125 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] 5 → 5 → 5 [/ matemáticas]

Del mismo modo para 2016 siempre es 6

Para 2017 o 7 es poco más tiempo tener 4

[matemáticas] 7 → 9 → 3 → 1 → 7 [/ matemáticas]

Para 2018 o es

[matemáticas] 8 → 4 → 2 → 6 → 8 [/ matemáticas]

Para 2019 o 9 es

[matemáticas] 9 → 1 → 9 [/ matemáticas]

Para 2020 siempre es 0

Para 2021 siempre es 1

Para 2022 es

[matemáticas] 2 → 4 → 8 → 6 → 2 [/ matemáticas]


[math] A_ {11} [/ math] tendrá 6 como último dígito

[math] A_ {12} [/ math] tendrá 5 como último dígito

[math] A_ {13} [/ math] tendrá 6 como último dígito

[math] A_ {21} [/ math] tendrá 7 como último dígito

[math] A_ {22} [/ math] tendrá 4 como último dígito

[math] A_ {23} [/ math] tendrá 9 como último dígito

[math] A_ {31} [/ math] tendrá 0 como último dígito

[math] A_ {32} [/ math] tendrá 1 como último dígito

[math] A_ {33} [/ math] tendrá 4 como último dígito

Ya ves a dónde estoy llegando con esto.

Esencialmente es

[matemáticas] 6 * (4 * 4-9 * 1) -5 * (7 * 4-9 * 0) +6 (7 * 1-6 * 0) [/ matemáticas]

Simplificando:

[matemáticas] (6 * (16-9) -5 * (8-0) + 6 * (7-0)) [/ matemáticas]

[matemáticas] (2-0 + 2) [/ matemáticas]

El último término es 4, por lo que el resto es de hecho 4

Es más fácil si toma el módulo 5 primero y luego comienza a calcular. Puedes hacer uso del pequeño teorema de Fermat aquí.

Todos los números, excepto 2015 y 2020, son coprimos a 5, esos dos números serán iguales a 0 módulo 5 de todos modos. En cuanto a las potencias, podemos aplicar el teorema de Fermat y tomar las potencias del módulo 4. Entonces obtenemos:

4 ^ 2 0 4 ^ 0

2 ^ 1 3 ^ 2 4 ^ 3

0 1 ^ 1 2 ^ 2

Que se convierte en:

1 0 1

2 4 4

0 1 4

Puede calcularlo fácilmente de forma manual.

Convierta todos los números al módulo 5 para obtener

Fila [matemáticas] 1: \ qquad ((-1) ^ {2014} \ qquad 0 \ qquad 1 ^ {2016}) [/ matemáticas]

Fila [matemáticas] 2: \ qquad ((2) ^ {2017} \ qquad (-2) ^ {2018} \ qquad (-1) ^ {2019}) [/ matemáticas]

Fila [matemáticas] 3: \ qquad (0 \ qquad 1 ^ {2021} \ qquad (2) ^ {2022}) [/ matemáticas]

Cabe señalar que [matemáticas] 2 ^ 4 = 16 \ equiv 1 \ pmod 5. [/ Matemáticas]

Entonces, tenemos,

Fila [matemáticas] 1: \ qquad (1 \ qquad 0 \ qquad 1) [/ matemáticas]

Fila [matemáticas] 2: \ qquad ((2) ^ 1 \ qquad (-2) ^ 2 \ qquad (-1) ^ 3) [/ matemáticas]

Fila [matemática] 3: \ qquad (0 \ qquad 1 ^ 1 \ qquad (2) ^ 2) [/ matemática]

que se convierte

Fila [matemáticas] 1: \ qquad (1 \ qquad 0 \ qquad 1) [/ matemáticas]

Fila [matemáticas] 2: \ qquad (2 \ qquad 4 \ qquad -1) [/ matemáticas]

Fila [matemáticas] 3: \ qquad (0 \ qquad 1 \ qquad 4) [/ matemáticas]

Luego obtenemos el valor del determinante como

[matemáticas] 1 (16 + 1) – 0 + 1 (2 – 0) = 19. [/ matemáticas]

Dejar

[matemáticas] A = \ begin {vmatrix} 2014 ^ {2014} y 2015 ^ {2015} y 2016 ^ {2016} \\ 2017 ^ {2017} y 2018 ^ {2018} y 2019 ^ {2019} \\ 2020 ^ {2020} y 2021 ^ {2021} y 2022 ^ {2022} \ end {vmatrix} [/ math]

Deseamos encontrar [matemáticas] A \ pmod 5 [/ matemáticas]

Sabemos que podemos encontrar el resto de un número dividido por [matemática] 5 [/ matemática] simplemente mirando el último dígito.

Para evaluar el dígito de las unidades de [matemática] A [/ matemática] simplemente evaluamos el dígito de las unidades de cada elemento, ya que todo el cálculo del dígito de las unidades se puede hacer usando el dígito de las unidades de números dados.

[matemáticas] 2014 ^ {2014} \ rightarrow 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2015 ^ {2015} \ rightarrow 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2016 ^ {2016} \ rightarrow 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2017 ^ {2017} \ rightarrow 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2018 ^ {2018} \ rightarrow 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2019 ^ {2019} \ rightarrow 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2020 ^ {2020} \ rightarrow 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2021 ^ {2021} \ rightarrow 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2022 ^ {2022} \ rightarrow 4 [/ matemáticas]

El dígito de estas unidades se puede calcular fácilmente utilizando la ciclicidad de los exponentes.

Entonces, la nueva matriz es efectiva,

[math] A ‘= \ begin {vmatrix} 6 y 5 y 6 \\ 7 y 4 y 9 \\ 0 y 1 y 4 \ end {vmatrix} [/ math]

Expande el determinante,

[matemáticas] A ‘= 96 + 0 + 42-0-140-54 [/ matemáticas]

Toma el resto cuando se divide por 5 para obtener

[matemáticas] A = 4 \ pmod 5 [/ matemáticas]

Reescribe el determinante en forma reducida:

[matemáticas] \ begin {vmatrix} (-1) ^ {2014} & 0 & 1 ^ {2016} \\ 2 ^ {2017} & (-2) ^ {2018} & (-1) ^ {2019} \ \ 0 & 1 ^ {2021} & 2 ^ {2022} \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 ^ {2017} & 2 ^ {2018} & -1 \\ 0 & 1 y 2 ^ {2022} \ end {vmatrix} [/ math]

Ahora, [matemáticas] 2 ^ 4 \ equiv 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 2 ^ {2017} \ equiv 2 [/ matemáticas], entonces el determinante se convierte en

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 y 0 y 1 \\ 2 y -1 y -1 \\ 0 y 1 y -1 \ end {vmatrix} = 1 + 0 + 2 – 0 – 0 – (-1) = 4 [/ matemáticas].

Lo sabemos…

[matemáticas] 2014 \ equiv -1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow 2014 ^ {2014} \ equiv 1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

Similar …

[matemáticas] 2015 ^ {2015} \ equiv 0 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2016 ^ {2016} \ equiv 1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2017 \ equiv 2 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow 2017 ^ 2 \ equiv -1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow 2017 ^ {2016} \ equiv 1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow 2017 ^ {2017} \ equiv 2 [\ mod 5] [/ matemática]

[matemáticas] 2018 \ equiv -2 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow 2018 ^ 2 \ equiv 4 \ equiv -1 [\ mod 5] [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow 2018 ^ {2018} \ equiv -1 \ equiv 4 [\ mod 5] [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow 2018 ^ {2018} \ equiv 1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2019 \ equiv -1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow 2019 ^ {2019} \ equiv 4 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2020 ^ {2020} \ equiv 0 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2021 ^ {2021} \ equiv 1 [\ mod 5] [/ matemáticas]

[matemáticas] 2022 ^ {2022} \ equiv 2 ^ {2022} \ equiv 4 ^ {1011} \ equiv -1 \ equiv 4 [\ mod 5] [/ matemáticas]

Ahora…

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 2014 ^ {2014} y 2015 ^ {2015} y 2016 ^ {2016} \\ 2017 ^ {2017} y 2018 ^ {2018} y 2019 ^ {2019} \\ 2020 ^ {2020} y 2021 ^ { 2021} y 2022 ^ {2022} \ end {vmatrix} [/ math]

Si el determinante anterior dividido por [matemáticas] 5 [/ matemáticas], el resto será …

[math] = \ begin {vmatrix} 1 y 0 y 1 \\ 2 y 4 y 4 \\ 0 y 1 y 4 \ end {vmatrix} [/ math]

[matemáticas] = 1 [16–2] -0 + 1 [2–0] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 14 \ equiv 4 [\ mod 5] [/ matemáticas]

Por lo tanto, el resto requerido es [matemáticas] 4 [/ matemáticas]

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