La declaración de la pregunta no está perfectamente clara, por lo tanto, responderé la siguiente pregunta, que creo capta el significado deseado:
Si [matemática] a, b [/ matemática] se eligen independientemente de manera uniforme al azar del intervalo [matemática] [0,1] [/ matemática], y [matemática] N [/ matemática] es el entero positivo más pequeño tal que [ matemáticas] k / 2 ^ N \ en [\ min (a, b), \ max (a, b)] [/ matemáticas], ¿qué es [matemáticas] E (N) [/ matemáticas]?
Aquí podemos usar la pequeña fórmula agradable
[matemáticas] E (N) = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty P [N \ geq i] [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la potencia más alta de 2 que divide 200! / 100 !?
- Si una persona quisiera probar la integridad global de la sociedad matemática presentando una prueba real, aunque inédita, de la hipótesis de Riemann sobre Quora, ¿se la consideraría un gran tonto? ¿A alguien le importaría si le siguiera algún plagio?
- ¿Por qué [math] f (n) = n ^ 2-n + 41 [/ math] produce tantos números primos (aproximadamente el 22% de los números son primos para [math] n \ leq 10 ^ 6 [/ math]) ?
- Si 17 ^ 17-n es divisible por 7, ¿cuál es n?
- ¿Cuál es el resto cuando 128 se divide por 11?
válido para todas las variables aleatorias [matemáticas] N [/ matemáticas] con el conjunto de objetivos [matemáticas] \ {1,2,3, \ ldots \} [/ matemáticas]. Observe que para cualquier [matemática] i [/ matemática], el evento [matemática] N \ geq i [/ matemática] corresponde a los puntos [matemática] a, b [/ matemática] ambos en uno de los intervalos
[matemáticas] \ left (0, \ frac {1} {2 ^ {i-1}} \ right), \ left (\ frac {1} {2 ^ {i-1}}, 2 \ frac {1} {2 ^ {i-1}} \ right), \ ldots, \ left (\ frac {2 ^ {i-1} -1} {2 ^ {i-1}}, 1 \ right). [/ Math ]
Cualquiera de estos intervalos [matemática] a [/ matemática] al que pertenezca, la probabilidad de que [matemática] b [/ matemática] esté en el mismo intervalo es
[matemáticas] P [N \ geq i] = \ frac {1} {2 ^ {i-1}}. [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] E (N) = \ frac {1} {2 ^ {0}} + \ frac {1} {2 ^ {1}} + \ frac {1} {2 ^ {2}} + \ cdots = 2. [/ Matemáticas]