Si el intervalo [matemática] [a, b] [/ matemática] se elige con puntos finales uniformes aleatorios independientes [matemática] a, b \ en [0,1] [/ matemática], y [matemática] n [/ matemática] es el entero positivo más pequeño tal que [matemática] \ existe k \ in \ mathbb {Z}: \ frac {k} {2 ^ n} \ en [a, b] [/ matemática], ¿qué es [matemática] E [n ][/matemáticas]?

La declaración de la pregunta no está perfectamente clara, por lo tanto, responderé la siguiente pregunta, que creo capta el significado deseado:

Si [matemática] a, b [/ matemática] se eligen independientemente de manera uniforme al azar del intervalo [matemática] [0,1] [/ matemática], y [matemática] N [/ matemática] es el entero positivo más pequeño tal que [ matemáticas] k / 2 ^ N \ en [\ min (a, b), \ max (a, b)] [/ matemáticas], ¿qué es [matemáticas] E (N) [/ matemáticas]?

Aquí podemos usar la pequeña fórmula agradable

[matemáticas] E (N) = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty P [N \ geq i] [/ matemáticas]

válido para todas las variables aleatorias [matemáticas] N [/ matemáticas] con el conjunto de objetivos [matemáticas] \ {1,2,3, \ ldots \} [/ matemáticas]. Observe que para cualquier [matemática] i [/ matemática], el evento [matemática] N \ geq i [/ matemática] corresponde a los puntos [matemática] a, b [/ matemática] ambos en uno de los intervalos

[matemáticas] \ left (0, \ frac {1} {2 ^ {i-1}} \ right), \ left (\ frac {1} {2 ^ {i-1}}, 2 \ frac {1} {2 ^ {i-1}} \ right), \ ldots, \ left (\ frac {2 ^ {i-1} -1} {2 ^ {i-1}}, 1 \ right). [/ Math ]

Cualquiera de estos intervalos [matemática] a [/ matemática] al que pertenezca, la probabilidad de que [matemática] b [/ matemática] esté en el mismo intervalo es

[matemáticas] P [N \ geq i] = \ frac {1} {2 ^ {i-1}}. [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] E (N) = \ frac {1} {2 ^ {0}} + \ frac {1} {2 ^ {1}} + \ frac {1} {2 ^ {2}} + \ cdots = 2. [/ Matemáticas]

Escoger [matemática] a, b [/ matemática] es lo mismo que escoger un punto dentro del cuadrado de la unidad.

Subdividir el cuadrado de la unidad en [matemáticas] 2 \ veces 2 [/ matemáticas] trimestres, o [matemáticas] 4 \ veces 4 [/ matemáticas] dieciseisavos, o [matemáticas] 8 \ veces 8 [/ matemáticas] poco [matemáticas] 64 [/ math] ths, y así sucesivamente. En cada caso, la región que describe un par de puntos que no se dividen por un punto de la forma [matemática] k / 2 ^ n [/ matemática] es el conjunto de pequeños cuadrados a lo largo de la diagonal. Siempre hay [matemática] 2 ^ n [/ matemática] tales cuadrados, entre [matemática] 2 ^ {2n} [/ matemática] cuadrados totales.

Entonces, podemos calcular la expectativa como

[matemáticas] E [n] = p (n \ geq 1) + p (n \ geq 2) + p (n \ geq 3) + \ ldots [/ math]

cual es

[matemáticas] E [n] = 1 + \ frac {2} {4} + \ frac {4} {16} + \ frac {8} {64} + \ ldots [/ matemáticas]

y eso es simplemente [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Entonces,

[matemáticas] E [n] = 2 [/ matemáticas].

Si el intervalo [matemático] [a, b] [/ matemático] se elige con puntos finales uniformemente aleatorios [matemático] a, b∈ [0,1] [/ matemático] , y [matemático] n [/ matemático] es el más pequeño entero positivo tal que [matemáticas] ∃k∈Z: k / 2 ^ n∈ [a, b] [/ matemáticas] , ¿qué es [matemáticas] E [n] [/ matemáticas] ?

No ha especificado el problema por completo porque ayb no son independientes (especificó que a

Supongo que diría que n = 1 si a se elige primero, y n = 2 si b se elige primero.

No lo resolveré correctamente hasta que especifiques lo que quieres decir.

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