¿Cuál es la potencia más alta de 2 que divide 200! / 100 !?

Para cualquier primo [matemático] p [/ matemático] y cualquier entero positivo [matemático] n [/ matemático], el poder más alto de [matemático] p [/ matemático] que divide [matemático] n! [/ Matemático] está dado por

[matemáticas] e_p (n!) = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left \ lfloor \ dfrac {n} {p ^ k} \ right \ rfloor [/ math].

En particular, cuando [matemáticas] p = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 200 [/ matemáticas], esto da

[matemáticas] e_2 (200!) = \ left \ lfloor \ dfrac {200} {2} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ dfrac {200} {4} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ dfrac { 200} {8} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ dfrac {200} {16} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ dfrac {200} {32} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ dfrac {200} {64} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ dfrac {200} {128} \ right \ rfloor [/ math]

[matemáticas] = 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 197 [/ matemáticas].

Como [math] e_2 (100) = 2 [/ math], la potencia más alta de [math] 2 [/ math] dividiendo [math] \ frac {200!} {100} [/ math] es [math] 195 [ /matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Observación. Si la intención era pedir la mayor potencia de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] dividiendo [matemáticas] \ frac {200!} {100!} [/ Matemáticas], tenga en cuenta que la suma de [matemáticas] 200! [/ math] tiene solo el término adicional [math] 100 [/ math]. Por lo tanto, la potencia más alta es [matemáticas] 97 [/ matemáticas].

Vamos a encontrar la potencia más alta de primo [matemáticas] p [/ matemáticas] en un factorial de número [matemáticas] n [/ matemáticas], digamos [matemáticas] f (n, p) [/ matemáticas].

Como [math] n! [/ Math] no es más que el producto de números de [math] \ {1,2,3. . n \} [/ math], hay [math] \ left \ lfloor \ dfrac {n} {p} \ right \ rfloor [/ math] múltiplos de [math] p [/ math].

Del mismo modo, obtendremos múltiplos de [matemáticas] p ^ {2} [/ matemáticas] como [matemáticas] \ left \ lfloor \ dfrac {n} {p ^ {2}} \ right \ rfloor [/ matemáticas] y así sucesivamente hasta [matemáticas] p ^ {k} [/ matemáticas].

[matemáticas] f (n, p) = \ left \ lfloor \ dfrac {n} {p} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ dfrac {n} {p ^ {2}} \ right \ rfloor +. . . + \ left \ lfloor \ dfrac {n} {p ^ {k}} \ right \ rfloor [/ math]

para el caso de [matemáticas] n = 200 [/ matemáticas] y [matemáticas] p = 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] f (n, p) = 197 [/ matemáticas].

también [matemáticas] 100 = 2 ^ {2} \ veces 5 ^ {2} [/ matemáticas]

Máximo poder de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en [matemáticas] \ dfrac {200!} {100} = 197-2 = 195 [/ matemáticas]

Avísame si algo es incorrecto.

Editar : en caso de [math] \ dfrac {200!} {100!} [/ Math]

para el caso de [matemática] n = 100 [/ matemática] y [matemática] p = 2 [/ matemática].

[matemáticas] f (n, p) = 97 [/ matemáticas]

Respuesta [matemáticas] = 197-97 = 100 [/ matemáticas]

Okay.
Considere, [matemáticas] N = 101 \ veces102 \ veces103 \ veces …… \ veces200 [/ matemáticas]
Utilice la factorización prima de factoriales como se proporciona aquí Factores primos de números factoriales, factorización prima de factores

¡Utiliza la factorización prima de 200! y 100! .
Deje, [math] 200! = 2 ^ {n1} \ times … .. [/ math] y [math] 100! = 2 ^ {n2} \ times … .. [/ math].

Por lo tanto, [math] \ frac {200!} {100!} = \ Frac {2 ^ {n1} \ times… ..} {2 ^ {n2} \ times … ..} [/ math]

A partir de esto, es obvio que, [matemática] 2 ^ {n1-n2} [/ matemática] dividirá por completo [matemática] \ frac {200!} {100!} [/ Matemática]

Por lo tanto, [math] n1-n2 [/ math] será su número deseado.

Espero, puedes hacerlo tú mismo ahora. Pregunte si tiene alguna dificultad o duda.

Definimos:

E (n) como, 【n / k】 donde 【】 es el GIF. O mayor función entera. Donde k es el número cuyo poder se encuentra, y el número en sí es n.

E de 2 [200/2】 = 100

E de 2 [100/2】 = 50

E de 2 【50/2】 = 25

E de 2 【25/2】 = 【12.5】 = 12 … y así sucesivamente hasta,

.

.

.

E de 2 【3/2】 = 1.

Sumando, todos los números = 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197.

Por lo tanto, la potencia más alta de 2 es 197 en la expansión de 200 !.

100 = 2 ^ 2 * 5 ^ 2.

Por lo tanto, la potencia más alta de 2 en la factorización prima de 200! / 100 es 2 ^ 195.

Entonces esa es la respuesta.

PD. Sé esto desde un fondo puramente aplicacionista. La derivación no es desafiante, pero es larga y fácil, proviene de la teoría de números elementales, véase Exponente de prima en factorial para el rigor.

Ya hay una respuesta sin sentido en la lista. De todos modos, voy a responder de manera sensata. ¡Podemos encontrar fácilmente por gif o función de piso la potencia más alta de 2 en 200 !.

Es 197. Entonces, 200! = 2 ^ 197 * x (para algún entero positivo x)

100 = 2 ^ 2 * 5 ^ 2

200! / 100 = 2 ^ 195 * x / 25

Entonces, la potencia más alta de 2 en 200! / 100 es 195.

Para encontrar el mayor poder de cualquier factor en cualquier no … Necesitas encontrar repetidamente el [] gif del no. Dividido por poderes del factor

Para encontrar la potencia de 2, encuentre [200/2] + [200/2 ^ 2] +… ..

La razón de esto es que el primer término cuenta no. De los factores divisibles por 2, el segundo término cuenta el no. De términos divisibles por 4 y así sucesivamente

Por lo tanto, cuenta todos los factores … U puede usar esto para todos los no.

Ya es una pregunta fácil …

Me pediste la respuesta y aquí está 🙂

¡Entonces necesitamos encontrar la potencia más alta de 2 (número primo) que divide 100! ¡O 200! … ¡Resolveré 100! …

Podemos usar la MAYOR FUNCIÓN INTEGER aquí …

La fórmula es: (x! / Número primo) + (x! / Número primo ^ 2) …… continúa hasta que el número primo ^ x no sea mayor que x …

Y toma todo el valor que obtienes al dividirlos (por ejemplo, si obtienes 9.8 al dividir, tomarás 9 y si obtienes 1.1 al dividir, entonces tomarás 1)

Ahora no deberías tener ningún problema para entender …

Comencemos a resolver ..

Al usar la fórmula podemos escribir:

(100! / 2) + (100! / 4) + (100! / 8) + (100! / 16) + (100! / 32) + (100! / 64), no podemos tomar 128 como superará los 100 …

Ahora al dividir obtenemos (no me importa que estés dividiendo factoriales)

50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97

Entonces la potencia máxima de 2 será 97 ..

Es fácil, no creas …

Vota mi respuesta si te ayudó …

Espero eso ayude. Hay dos respuestas en conflicto. Indique cuál es la respuesta correcta.

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