Cualquiera que sea el subconjunto infinito de enteros que esté mirando: no existe un concepto como una suma infinita.
Las sumas se definen para dos elementos inicialmente. Después de probar la ley asociativa y conmutativa, puede extender el concepto de suma a cualquier subconjunto finito .
Cualquier intento de extender la sumatoria directamente a conjuntos infinitos fallará.
Por supuesto, los matemáticos han tratado de dar sentido a ciertas “sumas infinitas”, lo que condujo al concepto de series infinitas :
- La suma de dos enteros es 10 y la suma de sus recíprocos es 5/12. ¿Cuál es el mayor de los enteros?
- ¿Cuál es la transformación z de n (n-1)?
- Si el intervalo [matemática] [a, b] [/ matemática] se elige con puntos finales uniformes aleatorios independientes [matemática] a, b \ en [0,1] [/ matemática], y [matemática] n [/ matemática] es el entero positivo más pequeño tal que [matemática] \ existe k \ in \ mathbb {Z}: \ frac {k} {2 ^ n} \ en [a, b] [/ matemática], ¿qué es [matemática] E [n ][/matemáticas]?
- ¿Cuál es la potencia más alta de 2 que divide 200! / 100 !?
- Si una persona quisiera probar la integridad global de la sociedad matemática presentando una prueba real, aunque inédita, de la hipótesis de Riemann sobre Quora, ¿se la consideraría un gran tonto? ¿A alguien le importaría si le siguiera algún plagio?
Extendamos y limitemos a los números reales por un momento.
Si [math] a_1, a_2, \ dots, [/ math] denota una secuencia infinita de números reales, consideramos la secuencia de sumas parciales (finitas) [math] \ sum_ {i = 1} ^ na_i, \, n \ in \ mathbb {N} [/ math]. Si esa secuencia converge hacia un número real A, hablamos de una serie convergente de números reales, y tendemos a decir que A es la suma infinita de nuestro conjunto.
De hecho, incluso entonces eso puede no tener sentido, ya que aún depende del orden de [math] a_i [/ math]. [Math] [/ math] Puede mostrar que el límite no depende del orden, si . la serie de valores absolutos también converge.
Este tipo de “suma infinita” es obviamente compatible con nuestra ingenua comprensión de la suma de conjuntos finitos.
En cualquier caso, para que una serie de números reales converjan, una condición necesaria es que la secuencia de [math] (a_n) [/ math] converja como una secuencia a 0.
Lo que obviamente no puede suceder cuando restringe el conjunto a enteros. Los enteros (excepto el propio 0) mantienen una distancia de al menos 1 desde 0 y, por lo tanto, nunca formarán una secuencia convergente con un límite de 0.
Permítanme repetirlo de esta manera: la suma infinita se detiene aquí. La suma de todos los enteros positivos no es igual a -1/12; Simplemente no existe. La suma de todos los enteros no es 0 y no es igual a ningún otro número; de nuevo no existe.
Construcciones como la famosa fórmula Ramanujan [matemáticas] \ zeta (-1) = – 1/12 [/ matemáticas] son de una naturaleza completamente diferente y no tienen nada que ver con la suma.