¿Cuál es el resto de 7 ^ (7 ^ 7) cuando se divide por 5?

Answer 1

[math] \ Rightarrow {\ left ({{7 ^ 2}} \ right) ^ 3} \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ left ({{7 ^ 6} \ times 7} \ right) \ equiv \ left ({- 1 \ times 7} \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {7 ^ 7} \ equiv \ left ({- 7} \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {7 ^ 7} \ equiv \ left ({- 7 + 10} \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {7 ^ 7} \ equiv \ left (3 \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

---

[matemáticas] \ left ({{7 ^ {\ left ({{7 ^ 7}} \ right)}}} \ right) \ equiv \ left (? \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ matemáticas]

[matemáticas] {7 ^ 2} \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ left ({{7 ^ 2} \ times 7} \ right) \ equiv \ left ({- 1 \ times 7} \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ left ({{7 ^ 3}} \ right) \ equiv \ left ({- 7} \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ left ({{7 ^ 3}} \ right) \ equiv \ left (3 \ right) \ bmod \ left (5 \ right) [/ math]

Por lo tanto, el resto es [matemáticas] [/ matemáticas] 3.

Answer 2

Puedes usar el pequeño teorema de Fermat, ya que 7 y 5 son números primos.

Esto significa 7 ^ 4 = 1 mod 5。

Por lo tanto, podemos calcular 7 ^ 7 mod 4, que conocemos 7 ^ 2 = 1 mod 4, lo que significa 7 ^ 7 = 7 = 3 mod 4.

Esto significa 7 ^ 7 ^ 7 = 7 ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 = 3 mod 5.

Answer 3

[matemáticas] 7 ^ 2 \ equiv -1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 7 ^ 7 \ equiv -7 [/ matemáticas]. De esto,

[matemáticas] 7 ^ {7 ^ n} = (7 ^ 7) ^ {7 ^ {n-1}} \ equiv -7 ^ {7 ^ {n-1}} \ equiv (-1) ^ n7 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] 7 ^ {7 ^ 7} \ equiv (-1) ^ 77 \ equiv -7 \ equiv 3 [/ matemáticas].