¿Existe la posibilidad de tener una forma poliédrica que tenga n + 1 lados con n bordes, donde cada lado limita con el otro? Sé que el tetraedro se ajusta a esto, pero ¿podemos encontrar alguna n más grande?

Cuando dices “lados”, creo que te refieres a caras. Además, de su pregunta no estaba claro que quisiera decir [matemáticas] n [/ matemáticas] como el número de bordes de cada cara (gracias a Bernard Leak por sugerir esa interpretación), así que aclararé esa parte de su pregunta y reformule la pregunta. Aquí está la pregunta que creo que querías hacer:

¿Existe la posibilidad de tener una forma poliédrica que tenga n + 1 caras, cada una de las cuales tiene n aristas, donde cada cara limita con otra cara?

Antes de abordar su pregunta, como se reformuló, echemos un vistazo a la fórmula del poliedro de Euler, [1] que dice: para cualquier poliedro convexo, el número de vértices y caras juntos es exactamente dos más que el número de bordes. Simbólicamente [matemáticas] \ bf {V − E + F = 2.} [/ Matemáticas] Otra forma de decir esto es que la característica de Euler [2] de cualquier poligonización de una esfera es 2. Superficies bidimensionales con agujeros, o cuyo Los bordes se identifican de varias maneras y tendrán diferentes características de Euler.

En su pregunta, está buscando una figura con [matemática] F = n + 1 [/ matemática] caras, y cada cara tiene bordes [matemática] n [/ matemática] en los que se encuentran dos caras, por lo que hay [matemática ] E = \ dfrac {n (n + 1)} {2} [/ math] bordes, total, en el poliedro.

Usando la fórmula de Euler, vemos que hay [matemáticas] V = E-F + 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {n ^ 2-n + 2} {2} [/ matemáticas ] vértices. El número de puntos finales de borde es [matemática] 2E = n (n + 1), [/ matemática] que se distribuyen entre los vértices [matemática] V [/ matemática], por lo que cada vértice tiene un promedio de [matemática] 2E / V [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {4 (n-1)} {n (n-1) +2} +2, [/ matemáticas] que es menor que [ matemática] 3 [/ matemática] siempre que [matemática] n> 3, [/ matemática] por lo que algunos vértices tendrán solo dos bordes unidos.

En base a estos cálculos, aquí hay una tabla que muestra para cada [matemática] n [/ matemática] la cantidad de vértices, aristas, caras y grado de vértice promedio de su poliedro.

[matemáticas] \ begin {array} {| c | c | c | c | c |} n & V & E & F & \ begin {align} \ text {Vertex} \\\ text {Degree} \ end {align } \\ \ hline 3 y 4 y 6 y 4 y 3 \\ \ hline 4 y 7 y 10 y 5 y 2.857 \\ \ hline 5 y 11 y 15 y 6 y 2.727 \\ \ hline 6 y 16 y 21 y 7 y 2.625 \\ \ hline 7 y 22 y 28 y 8 y 2.545 \\ \ hline 8 y 29 y 36 y 9 y 2.483 \\ \ hline 9 y 37 y 45 y 10 y 2.432 \\ \ hline \ end {array } \ tag * {} [/ math]

Cuando [math] n = 3, [/ math] su poliedro es un tetraedro ordinario:

Cuando [math] n = 4, [/ math] hay cinco caras cuadriláteras, entonces hay [math] 10 [/ math] bordes, por lo tanto, [math] 7 [/ math] vértices. Es útil que cualquier poliedro convexo se pueda representar como un gráfico plano. Solo puedo agregar algunos nodos y bordes, como este:

Es razonable no permitir un poliedro con vértices de grado inferior a 3, en cuyo caso, n no puede ser superior a 3, como señala la respuesta de Bernard Leak. Es cierto que este nuevo poliedro está un poco degenerado porque dos de las caras son coplanares y tres pares de bordes son colineales. No puedo ver cómo solucionar esto moviendo los vértices, porque todas las caras deben ser planas. Y no estoy seguro de si se pueden satisfacer todos los demás valores de n, pero estoy seguro de que los poliedros resultantes serán cada vez más absurdos a medida que n aumente.

Notas al pie

[1] Fórmula de Euler

[2] Característica de Euler – Wikipedia

Los bordes [matemáticos] n [/ matemáticos] son ​​claramente “por cara”, no “en total”.

El número total de aristas es [matemática] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemática] ya que cada arista aparece en dos caras.

El número total de vértices (suponiendo que no haya concurrencia extraña) debería satisfacer

# vértices = # aristas + 2 – # caras

[matemáticas] = \ frac {n (n + 1)} {2} + 2 – (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(n – 2) (n + 1) + 4} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {n ^ 2 – n + 2} {2} [/ matemáticas]

Al menos tres caras deben encontrarse en un vértice, por lo que el número de vértices también debe satisfacer

# vértices [matemáticas] \ veces 3 \ leq n (n + 1) [/ matemáticas]

(porque cada una de las caras [matemática] n + 1 [/ matemática] tiene vértices [matemática] n [/ matemática], suponiendo nuevamente que no haya una concurrencia extraña).

[matemáticas] \ frac {3 (n ^ 2 – n + 2)} {2} \ leq n (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 (n ^ 2 – n + 2) \ leq 2 [/ matemáticas] [matemáticas] n (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ 2 – 5n + 6 \ leq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (n – 2) (n – 3) \ leq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] es claramente inútil, por lo que la única solución es [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas], un tetraedro.

De acuerdo a

teorema de euler sobre poliedros

el número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es 2.

Para la forma de la que está hablando (con n + 1 caras y n aristas) la fórmula sería

(n + 1) + v -n = 2 o 1 + v = 2 o v = 1. ¿Viste un poliedro con un vértice?

Y, por cierto, ¿qué te hace pensar que el tetraedro se ajusta a tu fórmula? No es asi. Se ajusta a la fórmula de Euler.

4 caras, 4 vértices, 6 aristas. 4 + 4–6 = 2.

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