¿Hay infinitos enteros [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] n ^ 2 + 1 [/ matemática] divide [matemática] n! [/ Matemática]?

Usemos un enfoque aburrido de “fuerza bruta” para tratar de encontrar algunos números pequeños que pasen esta prueba:
18 -> 325 divide 6402373705728000
21 -> 442 divide 51090942171709440000
38 -> 1445 divide 523022617466601111760007224100074291200000000
43 -> 1850 divide 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
47 -> 2210 divide 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
y muchos más.

Ahora podemos comenzar a buscar patrones en estos números, y tratar de adivinar “por qué” algunos números ciertos pasan nuestra prueba.
18 ^ 2 + 1 = 325 = 5 * 5 * 13
21 ^ 2 + 1 = 442 = 2 * 13 * 17
38 ^ 2 + 1 = 1445 = 5 * 17 * 17
43 ^ 2 + 1 = 1850 = 2 * 5 * 5 * 37

Si no lo ha notado, todos estos números parecen tener muchos factores pequeños diferentes. Específicamente, todos los factores primos deben ser menores que n, para ser incluidos en n !, y si hay repeticiones del mismo factor, entonces deben ser menores que n / k para permitir k repeticiones del mismo factor.

En general, los números grandes tienden a tener muchos factores pequeños, a diferencia de los pocos factores grandes que los números pequeños tienden a tener, por lo que la mayoría de los números deben pasar esta prueba a medida que crezcamos lo suficiente. Considerando números grandes, 9901, 9908, 9913, 9924, 9932, 9935, 9941, 9945, 9949, 9954, 9955, 9959, 9961, 9969, 9972, 9974, 9975, 9982, 9988, 9993 todos pasan esta prueba. 20 números en 99XX pasan la prueba, en comparación con solo 12 números por debajo de 100, y 23 números que comienzan en 199XX. Haciendo afirmaciones razonables sobre la distribución de números primos, y que n ^ 2 + 1 tiene factores distribuidos razonablemente y no es un tipo especial de número, podríamos concluir que casi todos los números pasan esta prueba, y que por lo tanto hay un número infinito de tales números.

Tenga en cuenta que esto no es una prueba formal de nada. Es una prueba de muchos casos pequeños, un argumento heurístico sobre factores primos y una pista general de dónde podría estar una prueba formal. Sin embargo, es una buena razón para estar moderadamente seguro de que su hipótesis es cierta. Una vez en cien en matemáticas, un argumento heurístico débil como este será incorrecto, pero por lo general, lo que parece correcto probablemente sea correcto.

tl; dr:
Sí, probablemente hay infinitos números de este tipo n. Inicialmente son raros, pero parecen volverse más comunes a medida que los números aumentan, y aunque no puedo encontrar una prueba clara y clara, todavía estoy bastante seguro de que esto es cierto.

Para que [matemática] n ^ 2 + 1 [/ matemática] divida [matemática] n! [/ Matemática], todos los factores de [matemática] n ^ 2 + 1 [/ matemática] deberían ser menores que [matemática] n [/ matemáticas]. Eso elimina los casos en que [math] n ^ 2 + 1 [/ math] es primo o semiprime, porque [math] \ sqrt {n ^ 2 + 1}> n [/ math].

Los primeros ejemplos son:

[matemáticas] 18 ^ 2 + 1 = 5 ^ 2 \ veces 13 [/ matemáticas]

[matemáticas] 21 ^ 2 + 1 = 2 \ veces 13 \ veces 17 [/ matemáticas]

[matemáticas] 38 ^ 2 + 1 = 5 \ veces 17 ^ 2 [/ matemáticas]

¿Podemos llegar a una familia infinita de tales soluciones? Bueno, la ecuación negativa de Pell

[matemáticas] x ^ 2 – 5y ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

Tiene un número infinito de soluciones. Cualquier otro convergente de la fracción continua para [math] \ sqrt {5} [/ math] nos da una solución: (2,1), (38,17), (682,305), (12238,5473), o esto puede ser escrito como una recurrencia.

Para estos casos, por supuesto, tenemos [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 5y ^ 2 [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] y <\ frac {x} {2} [/ matemáticas]. Entonces, tanto [matemática] y [/ matemática] como [matemática] 2y [/ matemática] son ​​menores que [matemática] x [/ matemática], lo que significa [matemática] y ^ 2 [/ matemática] divide [matemática] x [ / matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]. Siempre que [math] y> 5 [/ math] también tengamos un múltiplo extra de 5 garantizado, así que [math] 5y ^ 2 \ mid x! [/ Math] para todos los casos excepto el primero.

Esto nos da una familia infinita de números para los cuales [matemáticas] n ^ 2 + 1 \ mid n! [/ Matemáticas]. (La primera de ellas es la tercera solución que di arriba).

[matemáticas] 38 ^ 2 + 1 = 5 \ veces 17 ^ 2 [/ matemáticas] divide [matemáticas] 38! [/ matemáticas]

[matemáticas] 682 ^ 2 + 1 = 5 ^ 3 \ veces 61 ^ 2 [/ matemáticas] divide [matemáticas] 682! [/ matemáticas]

[matemáticas] 12238 ^ 2 + 1 = 5 \ veces 13 ^ 2 \ veces 421 ^ 2 [/ matemáticas] divide [matemáticas] 12238 [/ matemáticas]!

Obviamente, podemos crear otras familias para cualquier ecuación de Pell [matemáticas] x ^ 2 – Dy ^ 2 = -1 [/ matemáticas] que tiene solución y para las que [matemáticas] \ sqrt {D}> 2 [/ matemáticas].

Deje [math] n = 2k ^ 2 [/ math] para que podamos obtener la factorización [math] n ^ 2 + 1 = 4 k ^ 4 + 1 = (2k ^ 2–2k + 1) (2k ^ 2 + 2k +1) [/ matemáticas]. Claramente, el primer factor es menor que n y los dos factores son coprimos, ¡así que tenemos que calcular valores para k que permitan que [matemática] 2k ^ 2 + 2k + 1 [/ matemática] divida [matemática] (2k ^ 2)! [/matemáticas].

Elija [matemática] k = 5t + 1 [/ matemática], luego 5 divide [matemática] 2k ^ 2 + 2k + 1 [/ matemática] de modo que el último número se factorice en 2 números que sean diferentes y ambos menos que [matemática] 2k ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, hemos encontrado infinitos números de la forma [matemática] n = 2 (5t + 1) ^ 2 [/ matemática] para t suficientemente grande.

¿Cuan grande? Para t = 0 el reclamo no es válido (n = 2), para t = 1, n = 72 y todo comienza a pasar. Entonces, todo lo que necesitamos es [matemática] t \ geq 1 [/ matemática] (para t = 0 nuestro primer factor es 1 que hizo que [matemática] n ^ 2 + 1 [/ matemática] primo, lo cual es un problema).

Una pregunta mucho más fácil sería si n + 1 divide n! El problema con n ^ 2 + 1 es que se vuelve mucho más grande que n, por lo que terminas con estas tres posibilidades:

n ^ 2 + 1 es primo. Entonces la respuesta es no.

n ^ 2 + 1 tiene un factor primo mayor que n. La respuesta es obviamente no otra vez. Pero ese número solo puede tener uno de esos factores porque dos factores primos mayores que n serían mayores que n ^ 2 + 1.

n ^ 2 + 1 tiene factores primos, todos los cuales son menores que n. Aquí es donde podría funcionar. Y aun así, podría no funcionar porque, por ejemplo, sus factores de números primos podrían enumerar un número como 67 dos veces y si n es 100 !, solo tendrá un factor de 67 en el número.

100! no funciona porque n ^ 2 + 1 = 10001 y su factorización de números primos es 73 x 137 y 137 no se divide en 100.

Por cierto 99! funciona porque n ^ 2 + 1 = 9802 = 2 * 13 * 13 * 29, así que seguro, ¡todos esos factores son mucho antes de llegar a 99!

Entonces, ¿podría funcionar algunas veces pero infinitamente a menudo?

Realmente, este es un problema difícil de tarea. Llamando a un experto en matemáticas, LOL

Te sugiero que sigas numberphile en Youtube. Tienen bastantes discusiones sobre números primos que pueden ayudarlo a obtener más información. Buena suerte.