Usemos un enfoque aburrido de “fuerza bruta” para tratar de encontrar algunos números pequeños que pasen esta prueba:
18 -> 325 divide 6402373705728000
21 -> 442 divide 51090942171709440000
38 -> 1445 divide 523022617466601111760007224100074291200000000
43 -> 1850 divide 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
47 -> 2210 divide 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
y muchos más.
Ahora podemos comenzar a buscar patrones en estos números, y tratar de adivinar “por qué” algunos números ciertos pasan nuestra prueba.
18 ^ 2 + 1 = 325 = 5 * 5 * 13
21 ^ 2 + 1 = 442 = 2 * 13 * 17
38 ^ 2 + 1 = 1445 = 5 * 17 * 17
43 ^ 2 + 1 = 1850 = 2 * 5 * 5 * 37
Si no lo ha notado, todos estos números parecen tener muchos factores pequeños diferentes. Específicamente, todos los factores primos deben ser menores que n, para ser incluidos en n !, y si hay repeticiones del mismo factor, entonces deben ser menores que n / k para permitir k repeticiones del mismo factor.
En general, los números grandes tienden a tener muchos factores pequeños, a diferencia de los pocos factores grandes que los números pequeños tienden a tener, por lo que la mayoría de los números deben pasar esta prueba a medida que crezcamos lo suficiente. Considerando números grandes, 9901, 9908, 9913, 9924, 9932, 9935, 9941, 9945, 9949, 9954, 9955, 9959, 9961, 9969, 9972, 9974, 9975, 9982, 9988, 9993 todos pasan esta prueba. 20 números en 99XX pasan la prueba, en comparación con solo 12 números por debajo de 100, y 23 números que comienzan en 199XX. Haciendo afirmaciones razonables sobre la distribución de números primos, y que n ^ 2 + 1 tiene factores distribuidos razonablemente y no es un tipo especial de número, podríamos concluir que casi todos los números pasan esta prueba, y que por lo tanto hay un número infinito de tales números.
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Tenga en cuenta que esto no es una prueba formal de nada. Es una prueba de muchos casos pequeños, un argumento heurístico sobre factores primos y una pista general de dónde podría estar una prueba formal. Sin embargo, es una buena razón para estar moderadamente seguro de que su hipótesis es cierta. Una vez en cien en matemáticas, un argumento heurístico débil como este será incorrecto, pero por lo general, lo que parece correcto probablemente sea correcto.
tl; dr:
Sí, probablemente hay infinitos números de este tipo n. Inicialmente son raros, pero parecen volverse más comunes a medida que los números aumentan, y aunque no puedo encontrar una prueba clara y clara, todavía estoy bastante seguro de que esto es cierto.