¿En qué base log n base b devuelve un entero cuando n es un entero?

Answer 1

No existe tal número.

Primero, si aplicamos la definición aceptada de una Base, b debe ser un número natural mayor que 1.

Tome dos ejemplos para n, 2 y 3. Como son números primos, se dividen solo entre 1 y ellos mismos y, por lo tanto, no hay un número natural b tal que b multiplicado por b repetido k multiplicado por 2 o 3 o peor aún, ambos para diferentes Kansas.

Incluso si dejamos de lado el requisito de que b sea natural y expandamos la definición de Base a cualquier número real, b tiene que ser infinitamente cercano a 1, para que las matemáticas no sean prácticas. Tal número base podría ser aplicable para hacer un argumento matemático, pero para propósitos prácticos es difícil para mí ver el uso de.

Otro punto, especificó números enteros en general. Para enteros negativos, log n no está definido en general a menos que expanda su recta numérica para que sea el plano complejo. Como insististe en números enteros, supongo que no quieres decir eso y simplemente cortas los números negativos enteros de la consideración.

Answer 2

Dado [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math], por lo que [math] b [/ math] es [math] x [/ math] en [math] x [/ math] [math] = \ log {_b} {n} [/ math] un número entero?

Si [matemática] x = \ log {_b} {n} [/ matemática], [matemática] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemática], [matemática] [/ matemática] entonces [matemática] b ^ x = n [/ math] y [math] b = n ^ \ frac {1} {x}, n \ in \ mathbb {Z}, x \ in \ mathbb {Z}. [/matemáticas]

Answer 3

Considere que [math] log_b b = 1 [/ math] y, en consecuencia, [math] log_b b ^ n = n [/ math].

Entonces, si el número es una potencia perfecta de cualquier número, entonces ese número es una base, de modo que su logaritmo en esa base es entero.

Por ejemplo [math] log_9 81 = 2 [/ math].

De lo contrario, el logaritmo de cualquier base numérica de ese número es uno.

No veo ninguna otra opción.

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle \ log_b n = x [/ matemáticas]

es otra forma de escribir

[matemáticas] \ displaystyle b ^ x = n. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] x [/ math] es un número entero si y solo si [math] n [/ math] es una potencia de [math] b [/ math]. Si se le da n y desea encontrar una base tal que [math] \ log_b n [/ math] sea un número entero, una forma de hacerlo es tomar una raíz cuadrada (o cubo, etc.) de [math] n [/matemáticas]. Por supuesto, el resultado puede no ser un número entero. En otras palabras, para todos [math] n> 0 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ log _ {\ sqrt {n}} n = 2 [/ matemáticas]

y más generalmente:

[matemáticas] \ displaystyle \ log _ {\ sqrt [r] {n}} n = r [/ matemáticas].