Cómo obtener el número de soluciones para la ecuación e ^ x = x ^ n, donde n es un número entero positivo

La parte interesante de la pregunta es demostrar EXACTAMENTE cuántas soluciones hay. El caso n = 0, 1 o 2 son casos obvios, que ya están cubiertos en otras respuestas. Entonces, me enfocaré en el caso donde n> 3.

Primero, si n es par , podemos extraer la raíz enésima (única) de la ecuación, por lo tanto:

e ^ x = x ^ n => e ^ (x / n) = x => e ^ (x / n) – x = 0

Llamemos a Fn la función tal que Fn (x) = e ^ (x / n) – x

Fn es continuo e infinitamente derivable.

Su primera derivada es F’n, donde F’n (x) = e ^ (x / n) / n – 1

F”n (x) = e ^ (x / n) / n ^ 2

F”n (x) es estrictamente positivo para todos los valores.

Entonces, F’n está creciendo estrictamente para todos los valores, desde -1 hasta + infinito, por lo tanto, F’n tiene una y solo una raíz, y es fácil verificar que la raíz de F’n sea nLog (n).

Entonces, Fn comienza disminuyendo desde + infinito, su límite cuando x tiende a – infinito, hasta x = nLog (n), luego crecerá estrictamente hasta + infinito.

Cuando x = nLog (n), Fn (x) = e ^ (nLog (n) / n) – nLog (n) = n (1-Log (n))

Como suponemos que n> = 3> e, entonces n (1-nLog (n)) es negativo.

Entonces, en este primer caso, Fn tiene exactamente EXACTAMENTE dos soluciones distintas, una más pequeña que nLog (n) y otra arriba.

Segundo, si n es impar (n> = 3)

Resolver la ecuación es equivalente a, ya sea:

Fn (x) = 0 [con la notación anterior, y en este caso sabemos que tenemos exactamente dos soluciones]

o Gn (x) = 0 [con Gn (x) = e ^ (x / n) + x]

Gn es continuo e indefinidamente derivable.

G’n (x) = (1 / n) e ^ (x / n) + 1, siempre estrictamente positivo, por lo que Gn está creciendo estrictamente.

Como Gn tiende a -Infinito cuando x tiende a -infinito y + infinito cuando x tiende a + infinito, Gn tiene EXACLEMENTE 1 solución.

¿Podría ser que esta solución Gn sea una de las raíces Fn? ¡Obviamente no, ya que eso significaría x = -x, o x = 0, y Gn (0) nunca será igual a cero!

Entonces, en este segundo caso, EXACTAMENTE hay 3 soluciones distintas, 2 de Fn y 1 de Gn.

QED

Tome los [math] \ ln [/ math] en ambos lados: [math] x = n \ ln x. [/ Math] O [math] \ ln x = \ dfrac xn. [/ Math] Since [math] \ ln x [/ math] es una función cóncava que puede cruzarse como máximo dos veces con [math] x / n. [/ math] Porque [math] x / n [/ math] tiene pendiente constante y la pendiente de [math] \ ln x [/ math] va a 0 tenemos dos o cero puntos de intersección (o posiblemente dos puntos tangenciales coincidentes). Determine el valor mínimo de la función [matemática] f (x) = \ dfrac xn – \ ln x. [/ Matemática] Sabemos que [matemática] f (0) = + \ infty [/ matemática] y [matemática] f (\ infty) = + \ infty, [/ math] hablando libremente. Entonces, si el mínimo es positivo, no tenemos intersección, si es negativo , tenemos dos puntos de intersección. Dado que [math] f ‘= 0 [/ math] if [math] x = n [/ math] con mínimo [math] f (n) = 1- \ ln n [/ math] y habrá dos puntos de intersección si [matemáticas] n> e [/ matemáticas]

Si n es par yn> 2 hay 3 soluciones.

Para x = -1, e ^ x = 1 / e

Para x = 0, e ^ x = 1> x ^ n = 0

Para x = 2, e ^ x = e ^ 2 <8

Para x grande, e ^ x> x ^ n

Entonces hay (al menos) tres cruces. (Teorema del valor intermedio).

De manera similar para n impar, n> 1, hay dos soluciones.

Parece un buen candidato para la función de Lambert. ¿Lo entiendo? No.

Pero el número de soluciones debería ser fácil: simplemente dibuje la función exponencial y luego vea que cruza las funciones x ^ n:

Una vez por n impar

Dos veces por n incluso

e ^ x = e ^ (nlnx)

Entonces, tenemos, x = nlnx

Entonces, x ≤ 0, no tenemos soluciones.

Pero x es exponencialmente más grande que lnx

Entonces, la única solución que parece posible es x = 1 para la cual si toma n = 0 satisfará el caso dado. Dada la condición de positividad en n, dudo si hay alguna solución.

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