¿Cómo mostrarías que el conjunto de enteros pares, incluido cero, es un grupo abeliano bajo la operación de suma?

Answer 1

Todo esto parecerá un poco trivial, por lo que, para comparar, voy a mostrar cómo algunas de las propiedades no son válidas para un subconjunto diferente de enteros, los enteros impares.

Primero recordamos las definiciones y propiedades relevantes:

• Un número entero es un número entero que es múltiplo de 2, es decir, un número entero que se puede escribir como [matemática] 2k [/ matemática] donde [matemática] k [/ matemática] también es un entero.
• Un grupo abeliano es un conjunto con una operación que está cerrada en ese conjunto, es asociativa, tiene un elemento de identidad, tiene inversos y es conmutativa.
• La suma ya es asociativa y conmutativa sobre el conjunto de todos los enteros, y tiene una identidad [matemática] 0 [/ matemática] y una inversa [matemática] -n [/ matemática] para cada entero [matemática] n [/ matemática].
• Ah, y la multiplicación de enteros se distribuye sobre la suma (esto es importante porque estamos tratando con múltiplos de 2 pero también con la suma. La propiedad distributiva es cómo la multiplicación se relaciona con la suma).

Esto significa que tenemos que mostrar algunas cosas:

• La suma se cierra sobre los enteros pares. Esto se cumple debido a la propiedad distributiva: si tiene números enteros [matemática] 2k [/ matemática] y [matemática] 2m [/ matemática], entonces [matemática] 2k + 2m = 2 (k + m) [/ matemática] es También un entero par. Los enteros impares fallan en esta propiedad: por ejemplo, [matemática] 1 [/ matemática] es impar pero [matemática] 1 + 1 = 2 [/ matemática], que no es impar.
• La suma es asociativa sobre los enteros pares. Esto se cumple porque la suma ya es asociativa sobre el conjunto de todos los enteros: [matemática] 2k + (2m + 2j) = (2k + 2m) + 2j [/ matemática]. Los enteros impares satisfacen la asociatividad, ya que también son un subconjunto de los enteros.
• La adición tiene un elemento de identidad sobre los enteros pares. Como ya sabemos que [math] 0 [/ math] es una identidad para el conjunto de todos los enteros y [math] 0 [/ math] es par, esto muestra que tenemos una identidad para los enteros pares: [math] 2k +0 = 2k [/ matemáticas]. Esto no se cumple para el conjunto de enteros impares, porque si [matemática] n [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] son ​​enteros impares y [matemática] n + k = n [/ matemática] entonces [matemática ] k = 0 [/ math], una contradicción ya que [math] 0 [/ math] no es impar.
• La suma tiene inversas sobre los enteros pares. Ya sabemos que los enteros tienen inversos, y si [matemática] 2k [/ matemática] es un entero par entonces [matemática] -k [/ matemática] es el inverso de [matemática] k [/ matemática], de modo que [matemática] 2k + 2 (-k) = 2 (k + (- k)) = 2 (0) = 0 [/ matemática]. Esto significa que el entero par [math] 2 (-k) [/ math] es el inverso de [math] 2k [/ math]. Los números impares satisfacen esta propiedad, ya que también son un subconjunto de los enteros.
• La suma es conmutativa sobre los enteros pares. Esto se cumple porque la suma ya es conmutativa sobre el conjunto de todos los enteros: [matemática] 2k + 2m = 2m + 2k [/ matemática].

Y ya hemos terminado. Esto muestra que los enteros pares son un grupo abeliano además.

Answer 2

Es un subconjunto del grupo abeliano de todos los enteros, y es estable bajo adición e inversión; la suma de dos enteros pares es par, y lo negativo de un entero par es par.