Creo que lo que está preguntando es equivalente a lo siguiente: “¿Hay infinitos números primos [matemática] p [/ matemática] de modo que [matemática] p = 6k – 1 [/ matemática]”. La respuesta es sí.
Todos los números primos excepto 2 y 3 tienen la forma [matemática] 6k + 1 [/ matemática] o [matemática] 6k + 5 [/ matemática]. Puede mostrar fácilmente que los números con cualquier otro mod 6 restante deben ser divisibles por 2 o 3. Ahora, [matemática] 6k – 1 = 6 (k – 1) + 5 [/ matemática] por lo que consideraremos la pregunta equivalente ” ¿Hay infinitos números primos [matemática] p [/ matemática] tal que [matemática] p = 6k + 5 [/ matemática]? ”
La respuesta es sí y la prueba es muy similar a la prueba de que debe haber un número infinito de números primos.
Supongamos que solo hay un número finito [matemática] n [/ matemática] de primos de la forma [matemática] 6k + 5 [/ matemática]. Denotemos cada uno de estos números primos por [math] p_j [/ math] donde [math] 0 <j \ leq n [/ math]. Ahora multiplique todos ellos, multiplique por 6 y agregue 5.
- ¿Hay infinitos enteros [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] n ^ 2 + 1 [/ matemática] divide [matemática] n! [/ Matemática]?
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- ¿Cómo mostrarías que el conjunto de enteros pares, incluido cero, es un grupo abeliano bajo la operación de suma?
- ¿Dónde puedo calcular [math] k_ {n} [/ math], que son constantes de [math] (- (n + k_ {n}))! \ approx (-1) ^ n \ cdot (n + k_ {n}), n> 1 [/ math] (por ejemplo [math] (- 3,1435808883)! \ approx -3,1435808883 [/ math]) ?
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[matemáticas] \ displaystyle 6 \ Big (\ prod_ {j = 1} ^ n p_j \ Big) + 5 [/ math].
Este número también tiene la forma [matemática] 6k + 5 [/ matemática], sin embargo, ninguno de sus factores primos puede ser de la forma [matemática] 6k + 5 [/ matemática] debido a la forma en que hemos construido el número. Pero no es divisible por 2 o 3. Esto significa que todos sus factores primos deben tener la forma [matemática] 6k + 1 [/ matemática]. Pero no importa cuántas veces multiplique números de este formulario, nunca puede obtener un número de la forma [matemáticas] 6k + 5 [/ matemáticas] porque [matemáticas] 1 * 1 \ equiv 1 \ mod {(6)} [/matemáticas]! Por lo tanto, tenemos una contradicción y debe haber un número infinito de primos de la forma [matemáticas] 6k + 5 [/ matemáticas].