¿Cuáles son los primos p para los cuales p + 3 es un cuadrado perfecto?

Answer 1

En primer lugar, todos los primos excepto 2 son números impares. Además, 2 no se ajusta a la factura como 2 + 3 = 5, que no es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, los números primos que califican serían:

• 13 como 13 + 3 = 16 y 16 es cuadrado de 4.
• 61 como 61 + 3 = 63 y 64 es cuadrado de 8.
• 97 como 97 + 3 = 100 y 100 es el cuadrado perfecto de 10.
• 193 como 193 + 3 = 196 y 196 es el cuadrado perfecto de 14.

Ahora puede haber notado que 33 y 141 no formaban parte de la lista elegible. La razón es: la pregunta establece p + 3 … 36 y 144 son cuadrados perfectos de números pares divisibles por 3.

En otras palabras, los primos p consisten en una lista de esos primos que son menores que los números pares no divisibles por 3, por una diferencia de 3.

Eso es p € P | (P + 3)% 3> 0

pido disculpas si la fórmula de la función es incorrecta, pero espero que hayas entendido la respuesta.

Answer 2

Ver comentario de Senia Sheydvasser (doctorado en matemáticas). Este problema aún no se ha resuelto.

Sin embargo, hice un intento … obviamente equivocado 😉

La plaza perfecta tiene que ser pareja.

Podemos decir [matemáticas] (2n) ^ 2 [/ matemáticas] ..

Entonces P = [matemáticas] (2n) ^ 2-3 [/ matemáticas]

4 = 3 + 1 primo

16 = 3 + 13 primos

36 = 3 + 33 no primos

64 = 3 + 61 primo

100 = 3 + 97 primo

144 = 3 + 141 no primos

196 = 3 + 193 primo

256 = 3 + 253 no primos

324 = 3 + 321 no primo

400 = 3 + 397 primo

484 = 3 + 481 no primo

576 = 3 + 573 no primo

676 = 3 + 673 primo …

Voila … ahí lo tienes … veo un patrón … errrr … no, yo no … aparentemente cualquier función que pueda resultar en primo solo puede no existir … lo único que se puede decir es que hay números infinitos

Answer 3

Como p + 3 es un cuadrado perfecto y también p debe ser primo, por lo tanto, p + 3 debe ser un número cuadrado perfecto, como

• 4 = 1 ✓
• 16 = 13 ✓
• 36 = 33 X no es primo
• 64 = 61 ✓
• 100 = 97 ✓
• … y así sucesivamente, es decir, de los primeros 10 cuadrados perfectos solo tenemos cuatro ahora.
• Entonces los primos son
• 1,13,61,97 … y así sucesivamente.

Espero que esto sea lo que querías = _ =

Answer 4

Hay tales números primos, pero dudo que tengan un nombre especial. Tampoco veo por qué este conjunto debería ser finito. He comprobado el primer millón de primos con un pequeño script de Python que escribí:

def is_square (apositiveint):
x = apositiveint // 2
visto = conjunto ([x])
mientras que x * x! = apositiveint:
x = (x + (apositiveint // x)) // 2
si se ve x: devuelve False
visto.add (x)
volver verdadero

# se puede modificar para adaptarse a otras contidions
verificación de def (p):
return is_square (p + 3)

primesPassingTheCheck = []
con open (“primes1.txt”, ‘r’) como archivo_primero:
para pl en archivo_primero:
tratar:
filterList = list (filter (None, pl.strip (). split (”)))
if len (filterList) == 0: continuar
primesOfLine = [int (f) para f en FilterList]
lineCheck = [p para p en primesOfLine si marca (p)]
if len (lineCheck) == 0: continuar
para lc en línea Compruebe:
primesPassingTheCheck.append (lc)
excepto ValueError:
Hacer continuación
print (len (primesPassingTheCheck), primesPassingTheCheck)

Encontré el método is_square en stockoverflow (lo usé no tiene un error de desbordamiento repentinamente (bueno, con este archivo todavía no es un problema)).

De cualquier manera, el resultado es:

374 [13, 61, 97, 193, 397, 673, 1021, 1153, …]
# (ejecuta el script tú mismo si quieres el resultado completo)

También hay una secuencia de primos similar, donde los primos son de la forma [matemáticas] n ^ 2-3 [/ matemáticas]

en OEIS.

Answer 5

Vamos a dividir los cuadrados perfectos en 2 grupos.

Un cuadrado impar que siempre produce un impar. Resta 3 de eso y tienes un par cada vez, eso no es primo. Entonces cada número impar se cancela a partir de esto.

Lo siguiente son los números pares, todos desglosados ​​en

6n: estos siempre hacen un múltiplo de 6 que, si quitamos 3, hace un producto de 3. Podemos cancelar todo este grupo

6n + 2 – Si cuadramos estos, obtenemos (6n) ^ 2 + 4 (6n) +4 que si restamos 3 es (6n) ^ 2 + 4 (6n) +1 como 8 ^ 2–3 = 64–3 = 61 y 14 ^ 2–3 = 196–3 = 193. Habrá números infinitos que funcionan con su p principal. Estos producen 6n + 1 primos.

6n + 4: si cuadramos estos, obtenemos (6n) ^ 2 + 8 (6n) +16, que si restamos 3 es (6n) ^ 2 + 8 (6n) +11 que crea un número primo 6n-1. 10 ^ 2–3 = 100–3 = 97 y 20 ^ 2–3 = 400–3 = 397.

Mientras no use un múltiplo de 6, seremos una cantidad infinita de números pares que produzcan cuadrados perfectos que respondan a su pregunta.

Editar para agregar error.

Answer 6

Usando el lenguaje de programación J:

Encuentra los primeros 2000 primos:

] a =. p:>: i.2000

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359…

Encuentra los primos 2–2000 que cuando se agregan con 3 forman un cuadrado perfecto:

(0 = 1 |%: a + 3) #a

13 61 97193397673 1021 1153 1597 1933 2113 3361 4093 4621 6397 7393 7741 8461 9601 12097 12541 13921 15373 16381

Parece que hay un número infinito de números primos con este atributo.

Answer 7

Es fácil encontrar algunas clases de congruencia a las que p debe pertenecer si existe. Ahora, demostrar que estas condiciones son suficientes no es trivial.

Por ejemplo, está claro que tal ap debe ser impar, lo que implica que el cuadrado es par y, por lo tanto, p debe ser congruente con 1 mod 4. De manera similar, el cuadrado no puede ser un múltiplo de 3, por lo que p es congruente con 1 mod 3.

Answer 8

13 y 16; 61 y 64; 193 y 196; 397 y 400; 673 y 676.

Eso es lo que llevo. Simplemente comencé a mirar cuadrados (no estoy seguro de qué podría ser un ‘cuadrado imperfecto’) y luego verifiqué si # -3 estaba en una lista de números primos. Las listas son bastante fáciles de acceder a Internet.

Supongo que si fuera un programador y REALMENTE aburrido, podría improvisar un programa que calcule números primos, luego compare este número con # + 3 y vea si la raíz cuadrada tenía algún componente decimal (que no sea 0).

Aleta.

Answer 9

No sé si alguna vez se ha probado, pero creo que hay infinitos. Todos los números primos mayores que dos son impares, y al sumar tres obtendrá un número par. Como no conocemos la disposición de los números primos, no podemos suponer que sean finitos.