La respuesta sería ocho. (editar abajo)
Reescribe la expresión dada como
[matemáticas] n ^ 2 + 100n +1000 = (n ^ 2 + 100n + 2500) – 1500 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (n + 50) ^ 2 -1500 = k ^ 2 [/ matemáticas] (decir).
- ¿Cuántos triángulos con un área positiva tienen todos sus vértices en los puntos (a, b) en el plano de coordenadas, donde ‘a’ y ‘b’ son enteros entre 1 y 5, ambos inclusive?
- ¿Es 3 | (p + 1) / 2 infinitamente frecuente, donde p es primo?
- ¿Hay infinitos enteros [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] n ^ 2 + 1 [/ matemática] divide [matemática] n! [/ Matemática]?
- ¿Se ha encontrado una prueba mucho más corta del último teorema de Fermat? La prueba de Wiles es extremadamente larga.
- ¿Cómo mostrarías que el conjunto de enteros pares, incluido cero, es un grupo abeliano bajo la operación de suma?
Usando [math] (n + 50) = p [/ math], tenemos una ecuación de la forma [math] p ^ 2 – k ^ 2 = 1500, [/ math] o [math] (p + k) ( pk) = 1500 [/ matemática]. [matemática] [/ matemática]
Observando la factorización prima de 1500, ya que [matemática] 1500 = 2 ^ 2 × 3 × 5 ^ 3 [/ matemática], hay un total de (2 + 1) (1 + 1) (3 + 1), es decir, 24 distintos factores de 1500. Nuestro objetivo es agrupar estos factores en 12 pares diferentes [matemática] (x_i, y_i) [/ matemática] de manera que [matemática] x_i = p + k [/ matemática] y [matemática] y_i = pk [/ matemática ] De hecho, un pequeño cálculo arroja los 12 pares como (1,1500), (2,750), (3,500), (4,375), (5,300), (6,250), (10,150), (12,125), (15,100), (20 , 75), (25,60) y (30,50).
Sin embargo, dado que para [matemática] n∈ℤ [/ matemática], [matemática] (n + 50) = p∈ℤ [/ matemática], entonces [matemática] (x_i + y_i) = 2p [/ matemática] debería ser par . Por lo tanto, nuestra solución incluye solo esos pares de factores, la suma de cuyos elementos es par. Es fácil detectar que solo cuatro de los 12 pares anteriores tienen una suma par: (2,750), (6,250), (10,150), (30,50). En correspondencia con estos, tenemos cuatro soluciones para [matemáticas] n [/ matemáticas] en [matemáticas] ℤ [/ matemáticas]: 326, 78, 30 y -10.
Edición 1: Dado que la pregunta pide soluciones a [matemáticas] n [/ matemáticas] en [matemáticas] ℤ [/ matemáticas], también necesitamos mirar el conjunto de factores integrales negativos de 1500. Sin embargo, dado que el producto [matemáticas ] x_i.y_i [/ math] es positivo, ambos o ninguno de [math] x_i [/ math] y [math] y_i [/ math] es negativo. Así, considerando otros cuatro pares de factores: (-2, -750), (- 6, -250), (- 10, -150) y (-30, -50), tenemos otras cuatro soluciones para [matemáticas] n [/ math] en [math] ℤ [/ math]: -426, -178, -130 y -90.
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La paz sea con todos nosotros.