¿Cuántos triángulos con un área positiva tienen todos sus vértices en los puntos (a, b) en el plano de coordenadas, donde ‘a’ y ‘b’ son enteros entre 1 y 5, ambos inclusive?

Answer 1

Reformularé su pregunta un poco, para evitar las posibles interpretaciones de que los tres vértices del triángulo están en el punto [matemáticas] (a, b) … [/ matemáticas]

¿Cuántos triángulos con área distinta de cero tienen todos sus vértices en los puntos [matemática] (a_i, b_i), [/ matemática] [matemática] i = 1,2,3 [/ matemática] en el plano de coordenadas, donde [matemática] a_i [ / math] y [math] b_i [/ ​​math] son enteros entre [math] 1 [/ math] y [math] 5, [/ math] inclusive?

También generalizaré la pregunta a una red [matemática] n \ veces n [/ matemática].

El número de tales triángulos es el número de subconjuntos de 3 elementos de los puntos de la red menos el número de subconjuntos colineales de 3 elementos. El número de subconjuntos de 3 elementos es fácil: [math] \ binom {n ^ 2} {3}. [/ Math] El número de subconjuntos colineales de 3 elementos es un poco más complicado. Afortunadamente, alguien ha descubierto para nosotros ese número y una fórmula que lo genera. Puede leer todo sobre esto aquí: A000938 en OEIS.

La fórmula para el número de subconjuntos colineales de 3 elementos en una red [math] n \ times n [/ math] es

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle 2 \ left (\ sum \ limits_ {m = 1} ^ {n-1} \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n-1} (nk) (nm) \ gcd ( k, m) \ right) – \ dfrac {n ^ 2 (n ^ 2 – 1)} {6} [/ math]

Cuando [math] n = 5, [/ math] hay [math] \ binom {n ^ 2} {3} = 2300 [/ math] subconjuntos de 3 puntos, es decir, “triángulos”, pero la fórmula anterior indica usted que 152 de los triángulos son colineales, entonces la respuesta a su pregunta es [matemáticas] 2300–152 = \ boxed {2148}. [/ matemáticas]

Answer 2

Las posibles formas en que podemos enumerar (a, b) a partir de los valores enteros dados que van del 1 al 5 para ‘a’ y ‘b’ es [matemática] {} ^ 5 \ text {C} _1 \ cdot {} ^ 5 \ text {C} _1 = 25 [/ matemáticas]

De estos 25 valores posibles del punto (a, b) que van desde (1,1) hasta (5,5), necesitamos elegir tres puntos que formarán los tres vértices del triángulo. El número de formas posibles en que esto se puede hacer es [matemática] {} ^ {25} \ text {C} _3 = 2300 [/ matemática]

Entre estas 2300 combinaciones, habrá ciertas combinaciones de tres puntos que formarán una línea recta formando así un triángulo degenerado.

Tal número de combinaciones se determina como se muestra a continuación

Aquí, ‘ a ‘ hasta ‘ y ‘ representan los 25 valores posibles para el punto (a, b) en la coordenada cartesiana, es decir, ‘ a ‘ = (1,1), ‘ b ‘ = (1,2), …. , ‘ y ‘ = (5,5).

En la figura anterior, se pueden ver 25 líneas rectas (5 azules, 5 rojos, 5 amarillos oscuros y 5 verdes) que pasan por ciertos puntos.

Ahora, los puntos a través de los cuales pasa cada una de estas líneas rectas per se, se ubicarán en una línea recta.

Considere las 5 líneas azules:

El número de líneas rectas que se pueden formar usando los puntos ‘k’, ‘q’ y ‘w’ tomando tres puntos a la vez será [matemática] {} ^ 3 \ text {C} _3 = 1 [/ matemática]

El número de líneas rectas que se pueden formar usando los puntos ‘f’, ‘l’, ‘r’, ‘x’ tomando tres puntos a la vez será [matemática] {} ^ 4 \ text {C} _3 = 4 [/matemáticas]

El número de líneas rectas que se pueden formar usando los puntos ‘a’, ‘g’, ‘m’, ‘s’ e ‘y’ tomando tres puntos a la vez [matemáticas] será {} ^ 5 \ text {C } _3 = 10 [/ matemáticas]

El número de líneas rectas que se pueden formar usando los puntos ‘b’, ‘h’, ‘n’ y ‘t’ tomando tres puntos a la vez será [matemáticas] {} ^ 4 \ text {C} _3 = 4 [/matemáticas]

El número de líneas rectas que se pueden formar usando los puntos ‘c’, ‘i’, ‘o’ tomando tres puntos a la vez será [matemática] {} ^ 3 \ text {C} _3 = 1 [/ matemática]

Considere las 5 líneas verdes:

El número de líneas rectas que se pueden formar usando los puntos ‘u’, ‘v’, ‘w’, ‘x’ e ‘y’ tomando tres puntos a la vez será [matemática] {} ^ 5 \ text {C} _3 = 10 [/ matemáticas]

El número de líneas rectas que se pueden formar usando los puntos ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’ tomando tres puntos a la vez será [matemática] {} ^ 5 \ text {C } _3 = 10 [/ matemáticas]

Del mismo modo, para los puntos [ ‘k’, ‘l’, ‘m’, ‘n’, ‘o’ ] , [ ‘f’, ‘g’, ‘h’, ‘i’, ‘j’ ] y [ ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, ‘e’ ] serán [matemáticas] {} ^ 5 \ text {C} _3 = 10 [/ matemáticas] cada una.

Ahora, en el caso de 5 líneas rojas, es igual que el de 5 líneas azules debido a la simetría.

En el caso de 5 líneas amarillas oscuras, es el mismo que el de 5 líneas verdes debido a la simetría.

Entonces, el número total de líneas rectas que se pueden formar usando tres puntos entre los 25 puntos = [matemática] 2 \ cdot (20 + 50) = 140 [/ matemática]

Finalmente, el número de triángulos que se pueden formar con un área positiva = 2300 – 140 = 2160.

Ediciones: hay 12 combinaciones más de líneas rectas como se muestra en la figura a continuación (observe el número de líneas moradas, las líneas negras, las líneas doradas y las líneas azules, juntas suman 12 combinaciones más). Por lo tanto, nuestra respuesta final sería 2160 – 12 = 2148 (Respuesta).

PD: Gracias Ian Pulizzotto por señalar los errores.

Si alguien tiene alguna sugerencia, comente a continuación.

Answer 3

¿Cuántos triángulos con un área positiva tienen todos sus vértices en los puntos (a, b) en el plano de coordenadas, donde ‘a’ y ‘b’ son enteros entre 1 y 5, ambos inclusive?

Si todos los vértices del triángulo están en (a, b), no es mucho triángulo y si lo contaras como tal, el área sería 0. Hay 25 ya que cada uno de a y se puede elegir en 5 formas.