¿Qué es la función zeta de Riemann? Educación te da un futuro mejor

Dado que está preguntando, supongo que quiere entenderlo, no solo leer un montón de fórmulas que a nadie le importa explicar. Es fácil para un matemático capacitado comprender el papel esencial de este tipo de objetos.

Primero lo primero. Primes y números ordinarios.

Los primos son números que son divisibles solo por 1 y por sí mismo. 2, 3, 5, 7, 11 son los primeros.
Las potencias primas son todos los números que se pueden expresar como [matemática] p ^ n [/ matemática], donde p es primo. 2, 4, 8, 16 son las primeras potencias de 2; 3, 9, 27, 81 de 3 y así sucesivamente.

Los números ordinarios son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 … generalmente definidos usando recursión [matemática] siguiente = anterior + 1, primero = 1 [/ matemática]

Tenemos algo llamado función generadora en matemáticas. Es una expresión que conecta una serie de números y coeficientes en alguna expresión.

Por ejemplo, si tenemos 1, 1, 1, 1 … su función generadora será [math] \ frac {1} {1- \ frac {1} {x}} [/ math]

¿Por qué? Porque

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {x ^ 0} + \ frac {1} {x ^ 1} + \ frac {1} {x ^ 2} +… = \ frac {1} {1- \ frac {1} {x}} [/ matemáticas]

(Sugerencia: 1, 1, 1, 1 … aparece en los numeradores). Si no está convencido, simplemente multiplique y convénzase usted mismo de que

[matemáticas] \ displaystyle (\ frac {1} {x ^ 0} + \ frac {1} {x ^ 1} + \ frac {1} {x ^ 2} + …) (1- \ frac {1} { x}) = 1 [/ matemáticas]

Por supuesto, x debe estar dentro de algún rango de valores. Por ejemplo, a la izquierda no puede ser [math] \ frac {1} {2} [/ math], pero puede a la derecha. Esto se llama una extensión. Hemos ampliado el rango de valores que podemos tener para x. Aún así, a la derecha y a la izquierda no puede tener [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], por ejemplo, si va a resumirlo en algo, aunque la razón es diferente. A la izquierda, la suma sería mayor que cualquier número, a la derecha no podría dividir por 0.

Bueno, dices que esto es trivial. ¿En qué pueden ayudar 1, 1, 1, 1, 1 … en matemáticas? Ya sabes, casi todas las ideas básicas en matemáticas son tan triviales.

Puedes comenzar a jugar ahora

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1 + x} [/ matemáticas]

está dando 1, -1, 1, -1, …

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

está dando 1, 0, 1, 0, 1, … ya que lo anterior es igual a

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 0 + x ^ 2 + x ^ 4… [/ matemáticas]

Por supuesto, todo esto es simple, pero observe una propiedad curiosa de que tiene [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] mientras alterna 1 y 0. Parece que 2 refleja la frecuencia. Estamos muy interesados cuando algo así comienza a suceder.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {(1-x) ^ 2} [/ matemáticas]

está dando (finalmente) 1, 2, 3, 4, 5 … Aquí, 2 en el exponente está conectado al coeficiente binomial que está dando el número de opciones de k elementos de n elementos en algún conjunto, aunque esta conexión comienza a ser importante con un exponente más alto que solo 2.

El juego comienza a ser mucho más interesante si lanzamos como [matemáticas] \ frac {1} {1}, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4} ,…[/matemáticas]

Esto da

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 1} {1} + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 4} {4} +… = – \ log (1-x) [/ math]

Ahora volvamos a los números primos y ordinarios. Casi todo lo que sabemos sobre los primos proviene de técnicas de tamizado. Usted sabe, comience desde 2, póngalo en una caja, quite todos los números divisibles por 2, tome el más pequeño no eliminado, 3, póngalo en la caja, quite todos los divisibles por 3, tome el más pequeño a la izquierda, 5, póngalo en la caja y sigue así para siempre. En el cuadro tendrás tus primos.

Problema: esta técnica es ilustrativa, su dinámica no es lo suficientemente precisa como para dar algo sobre la dinámica de aparición y desaparición de números primos. Además de eso, termina en el infinito, haciendo que los números primos sean entidades inalcanzables.

Pero tenemos una función generadora para esto, y aquí es donde comienza el juego.

Empezar con

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + … + \ Frac {1} {n} + \ frac {1} {n + 1} +… [/ matemática]

Bueno, esto no se puede sumar a ningún número, por lo que debemos tomarlo como una expresión formal. (Más adelante mencionaremos la misma expresión con [math] n ^ 2 [/ math].) Se pueden sumar y los matemáticos más destacados en sus épocas descifraron los valores. Así es como todo comenzó en realidad.

Entonces, ¿qué tiene que ver lo anterior con los números primos?

Si desea extraer primos, extraigamos primos y poderes primarios primero

[matemáticas] \ displaystyle 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} +… [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 1+ \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ frac {1} {27} + \ frac {1} {81} +… [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 1+ \ frac {1} {5} + \ frac {1} {25} + \ frac {1} {125} + \ frac {1} {625} +… [/ matemáticas]

Todos estos anteriores tienen una buena suma (ya mencionado)

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1- \ frac {1} {p}} [/ matemáticas]

donde p es primo 2, 3, 5, 7 …

Tenga en cuenta que todas las sumas anteriores tienen términos individuales en

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + …[/matemáticas]

Los poderes primos y primos no se mezclan con otros primos y poderes primarios.

Si los quitas, te quedan números que no son ni números primos ni potencia de los números primos 6, 12, 14 … Estos están hechos de números primos y poderes primarios [matemáticas] 6 = 2 \ cdot 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 12 = 3 \ cdot 2 ^ 2 [/ matemática], [matemática] 14 = 2 \ cdot 7 [/ matemática]

¿Cómo? Al multiplicarlos. Entonces, lo primero que puede hacer es obtener todas las combinaciones de series principales multiplicándolas. Esta es otra cosa que es muy natural para cualquier matemático. Obtienes una probabilidad de dos eventos de esa manera, los multiplicas, aunque detrás está el número de combinaciones. Por ejemplo, si desea saber la cantidad de formas en que puede seleccionar dos elementos del conjunto a, b, c, tiene la multiplicación

[matemáticas] \ displaystyle (a + b + c) (a + b + c) = aa + ab + ac + ba + ba + bc +… [/ matemáticas]

cada uno dando una posible selección. ¿Pero el número de ellos? Simplemente reemplace a, b, c con 1 y lo tendrá.

Si desea combinar las series anteriores con números primos, multiplíquelos. Tenga en cuenta que no estamos sumando nada aquí. Las expresiones se toman de manera formal. 2, 4, 8, 16 … 3, 9, 27 … al principio se toman de manera similar a a, b, c. Es un largo camino para confirmar las limitaciones de este juego.

[matemáticas] \ displaystyle (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} +…) (1+ \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ frac {1} {27} + \ frac {1} {81} +…) (1+ \ frac {1} {5} + \ frac {1} {25} + \ frac {1} {125} + \ frac {1} {625} + …) (…) [/ matemáticas]

Esto anterior es igual a

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + …[/matemáticas]

porque cada número ordinario se puede representar como

[matemáticas] \ displaystyle n = \ prod_ {k = 1} ^ {\ infty} p_ {k} ^ {b_ {k}} [/ matemática]

donde [matemáticas] b_ {k} = 0,1,2,3,4,5,… [/ matemáticas]

Por ejemplo [matemáticas] 12 = 2 ^ {2} 3 ^ {1} 5 ^ {0} 7 ^ {0} 11 ^ {0} 13 ^ {0}… [/ matemáticas]

y, por supuesto, cada [matemática] p_ {k} ^ {b_ {k}} [/ matemática] puede encontrar estrictamente una de las sumas principales anteriores.

Usando la notación abreviada para las sumas anteriores tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + … = \ Frac {1} {1- \ frac {1} {2}} \ frac {1} {1- \ frac {1} {3}} \ frac {1} {1- \ frac {1} { 5}}… [/ matemáticas]

Esto anterior no se puede resumir, por lo que debe tomarse formalmente, pero aquí hay algo que puede ayudar a darle algo de sentido.

Note que cuando tuvimos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {(1-x) ^ 2} [/ matemáticas]

dijimos que este está vinculado a 1,2,3,4,5 … lo que significa

[matemáticas] \ displaystyle 1x ^ {0} + 2x ^ {1} + 3x ^ {2} + 4x ^ {3} +… = \ frac {1} {(1-x) ^ 2} [/ matemáticas]

¿Y x está aquí? Bueno, una variable ficticia. Formalmente puede ser lo que quieras, para algunos propósitos es realmente solo un símbolo de letra xa, para algunos es un número real, para algunos números complejos, para algunas cosas más complicadas como operador, cualquier cosa que puedas enchufar y luego justificar eso. En esencia, la variable ficticia es una idea que une mundos en matemáticas uno con otro. De esa manera, puede usar una misma cosa en topología y probabilidad.

Entonces, tonto otra vez aquí. ¿Cómo lo hacemos en nuestra expresión? Euler tuvo una gran idea de establecer en lugar de

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + …[/matemáticas]

algo como esto:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1 ^ y} + \ frac {1} {2 ^ y} + \ frac {1} {3 ^ y} + \ frac {1} {4 ^ y} + \ frac {1} {5 ^ y} +… [/ matemáticas]

Esto se debe a que podemos sumar lo anterior directamente si [math] y> 1 [/ math]

Tenga en cuenta que ficticio [math] y [/ math] no cambia nada, todavía tenemos que la suma anterior es igual a

[matemáticas] \ displaystyle (1+ \ frac {1} {2 ^ y} + \ frac {1} {4 ^ y} + \ frac {1} {8 ^ y} + \ frac {1} {16 ^ y } +…) (1+ \ frac {1} {3 ^ y} + \ frac {1} {9 ^ y} + \ frac {1} {27 ^ y} + \ frac {1} {81 ^ y} +…) (1+ \ frac {1} {5 ^ y} + \ frac {1} {25 ^ y} + \ frac {1} {125 ^ y} + \ frac {1} {625 ^ y} + …)(…)[/matemáticas]

Y Riemann dice: ¿y si configuro este ficticio [math] y [/ math] para que sea un número complejo. Y el Señor de los Anillos encontró el anillo.

La función que obtienes para complejos [matemática] y [/ matemática] (acostumbrado a nombrarla [matemática] s [/ matemática]) es la función zeta de Riemann

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {1} {1 ^ s} + \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {3 ^ s} + \ frac {1} { 4 ^ s} + \ frac {1} {5 ^ s} +… [/ matemáticas]

Eso significa que por ejemplo

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (2) = \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} { 4 ^ 2} + \ frac {1} {5 ^ 2} +… [/ matemáticas]

(y su evaluación de la que hablamos es [matemáticas] \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas])

Pero espera, ese es el lado izquierdo de la historia. ¿Qué pasa justo donde tenemos números primos? Bueno, de hecho es:

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {1} {1- \ frac {1} {2 ^ s}} \ frac {1} {1- \ frac {1} {3 ^ s}} \ frac {1} {1- \ frac {1} {5 ^ s}}… [/ math]

Este producto no es algo que disfrutamos tanto, así que solo usamos logaritmo y lo convertimos en una suma

[matemáticas] \ ln \ zeta (s) = – \ ln (1-2 ^ {- s}) – \ ln (1-3 ^ {- s}) – \ ln (1-5 ^ {- s}) – \ ln (1-7 ^ {- s})… [/ matemáticas]

Entonces Riemann zeta corresponde a números ordinarios, mientras que su logaritmo corresponde a números primos. Y de eso se trata el juego. Conocemos muchas propiedades de los números primos y su distribución al investigar esta función.

Para ilustrar su versatilidad, aquí está la lista de características interesantes

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ s} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ ln \ frac {1} {\ zeta (s)} = \ sum _ {\ text {p primes}} \ ln (1-p ^ {- s}) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {\ zeta (s)} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ mu (n)} {n ^ s} [/ math]

[math] \ mu (n) [/ math] es la función de Möbius sobre la que puede leer en otro lugar, es -1, 1 o 0 dependiendo del número de primos en la factorización de n en primos.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ varphi (n)} {n ^ s} [/matemáticas]

[math] \ varphi (n) [/ math] es la función totient de Euler, número de enteros menores que n que no son divisibles con ninguno de los números n es divisible con

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta ^ 2 (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {d (n)} {n ^ s} [/ matemáticas]

[math] d (n) [/ math] es el número de divisores de n, incluido 1 yn

Puede encontrar conexiones con la función Liouville, la función Mangoldt, …

Todas las funciones que hemos mencionado son agitadas y no hay mucho que pueda decir sobre ellas directamente. Riemann zeta está dando alguna forma de tratar con ellos. No el más manso, pero aún así. Siempre que estemos vinculando primos a tamizado, estamos limitados a Riemann zeta y las herramientas derivadas de él.

¿Descubriremos alguna vez un origen más domesticado de primos? Uno nunca sabe.

Entonces, si la idea de generar una función se hundió, la respuesta más simple posible es:

Riemann zeta es una función generadora de números primos en el dominio complejo.

Podríamos decir muchas cosas sobre Riemann zeta, pero has escuchado sobre cosas como “¿hay una función que pueda imitar cualquier cosa, cualquier teorema o pieza musical que se haya escrito o se escriba alguna vez, cualquier pintura pintada, cualquier novela completada … “Bueno, Riemann zeta fue el primer objeto calculable con esta propiedad que encontramos. Más tarde, hemos encontrado algunos más, pero el hecho de que Riemann zeta pueda imitar cualquier función con precisión arbitraria, lo que significa que cualquier función se traza dentro de Riemann zeta con la precisión que desee (incluida la propia Riemann zeta) nos lleva a una conclusión fascinante:

“… Por lo tanto, la función zeta de Riemann es probablemente una de las funciones más notables porque es una” representación “concreta (en sentido de teoría de grupo) del” libro gigante de teoremas de Dios “del que habló Paul Halmos: todos los teoremas y textos posibles son ya codificado de alguna forma en la función zeta de Riemann, y repetido infinitamente muchas veces. Aunque una función de ruido blanco y una secuencia infinita de dígitos aleatorios también son “representaciones” concretas, la función zeta de Riemann no es ruido blanco o aleatorio sino bien definido.

…

Ejemplo

¡Este artículo también está codificado en algún lugar de la función zeta de Riemann mientras se escribe! … ”(La función zeta de Riemann es un fractal, SC Woon)

Observe que muchas veces se han dicho cosas similares sobre los dígitos de [math] \ pi [/ math], por ejemplo. Sin embargo, no estamos seguros acerca de los dígitos de [math] \ pi [/ math]. Sobre Riemann zeta, lo hemos demostrado.