Para cualquier [math] n \ in \ mathbb N [/ math] y [math] k \ in \ mathbb N \ cup \ {0 \} [/ math],
[math] \ big \ {x \ in \ mathbb N: \ lfloor \ frac {x} {n} \ rfloor = k \ big \} = \ big [kn, (k + 1) n-1 \ big] [ / math], excepto que el entero [math] kn [/ math] no se incluye cuando [math] k = 0 [/ math].
Entonces, si [math] m, n \ in \ mathbb N [/ math], con [math] m> n [/ math] y [math] k \ in \ mathbb N \ cup \ {0 \} [/ math ],
[math] \ big \ {x \ in \ mathbb N: \ lfloor \ frac {x} {m} \ rfloor = \ lfloor \ frac {x} {n} \ rfloor = k \ big \} = \ big [km , (k + 1) m-1 \ big] \ cap \ big [kn, (k + 1) n-1 \ big] [/ math], con la misma excepción que anteriormente para [math] k = 0 [/ matemáticas]
- Si x, y, y N son todos enteros positivos, y 7x + 11y = N, ¿cuál es el mayor valor de N que hace esto imposible?
- Supongamos que cinco números enteros se eligen sucesivamente al azar entre 0 y 11, inclusive. ¿Encuentra la probabilidad de que no más de dos sean iguales?
- Gauss dijo que la teoría de números era el área más significativa de las matemáticas. ¿Crees que después de 200 años esa declaración sigue siendo válida (si alguna vez lo fue)? Si no es la teoría de números, entonces, ¿qué área de las matemáticas?
- ¿Cuál es el resto cuando 11222333344444 se divide por 4?
- ¿Cuántas soluciones enteras positivas (a, b) hay en la ecuación a ^ 2 + b ^ 2 + (a + b) ^ 2 = b ^ 3 donde 0 <b <2017?
[matemáticas] = \ begin {cases} [km, (k + 1) n-1], & km \ le (k + 1) n-1; \\ \ emptyset, & km> (k + 1) n-1. \ end {cases} [/ math],
con la misma excepción que la anterior para [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] \ izquierda | \ big \ {x \ in \ mathbb N: \ lfloor \ frac {x} {m} \ rfloor = \ lfloor \ frac {x} {n} \ rfloor = k \ big \} \ right | = \ max \ {nk (mn), 0 \} [/ math], excepto que esto es igual a [math] n-1 [/ math] cuando [math] k = 0 [/ math].
Por lo tanto
[matemáticas] \ izquierda | \ big \ {x \ in \ mathbb N: \ lfloor \ frac {x} {m} \ rfloor = \ lfloor \ frac {x} {n} \ rfloor \ big \} \ right | = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor \ frac {n} {mn} \ rfloor} \ big (nk (mn) \ big) – 1 [/ math]
[matemáticas] = n \ lfloor \ frac {m} {mn} \ rfloor – \ frac {1} {2} (mn) \ lfloor \ frac {m} {mn} \ rfloor \ lfloor \ frac {n} {mn } \ rfloor – 1 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
Para [matemática] m = 101 [/ matemática], [matemática] n = 99 [/ matemática], obtenemos el número de soluciones para ser [matemática] (99 \ cdot 50) – (50 \ cdot 49) – 1 = 2499 [/ matemáticas].