¿Cuáles son los elementos del conjunto [math] \ left \ {5a + 2b: a, b \ in \ mathbb {Z} \ right \} [/ math]?

Answer 1

Como todos han notado, esto produce el conjunto de todos los enteros. Pero hay un hecho mucho más general en juego aquí, que puede tener en cuenta: al reemplazar “5” y “2” aquí con valores arbitrarios, obtienes el conjunto de múltiplos de su Máximo Divisor Común. (El divisor común más grande de 5 y 2 es 1, por lo que en el caso de la pregunta tal como está escrita, obtienes el conjunto de múltiplos de 1, pero si hubieran sido, por ejemplo, 24 y 42, el divisor común más grande sería 6 , para obtener el conjunto de múltiplos de 6).

Esto se debe a que cualquier valor que pueda escribirse como una combinación de enteros particulares de esta manera debe ser divisible por todos sus divisores comunes, y por lo tanto, en particular, debe ser un múltiplo de su MCD. Y a la inversa, el MCD de cualquiera de los dos valores siempre se puede escribir como una combinación de ellos de esta manera (este hecho se conoce como “Lema de B é zout”; se puede demostrar usando el algoritmo de Euclides para calcular la combinación apropiada (una combinación de las entradas que también los divide a ambos, y por lo tanto debe ser su MCD); puedo escribir más sobre esto más adelante), para que todos los múltiplos del MCD puedan escribirse de esta manera.

Por lo tanto, el conjunto de valores que puede generar a partir de un par de enteros de esta manera es precisamente el múltiplo de su MCD. (Esto se generaliza al uso de más de dos enteros también. Tres, cuatro, incluso infinitamente, lo que tu corazón desee: los valores que se pueden expresar agregando múltiplos de valores iniciales elegidos en alguna combinación son precisamente los múltiplos de esos valores iniciales ‘ general más grande divisor común)

Answer 2

De manera más general, para cualquier conjunto de enteros distintos de cero [matemática] a_1, \ ldots, a_k [/ matemática],

[matemáticas] a_1 \ mathbb Z + \ cdots + a_k \ mathbb Z = \ big \ {a_1m_1 + \ cdots + a_km_k: m_i \ in \ mathbb Z \ big \} = g \ mathbb Z [/ math],

donde [math] g = \ gcd (a_1, \ ldots, a_k) [/ math].

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Prueba. Por conveniencia, escriba [math] A_i = a_i \ mathbb Z [/ math], [math] i \ in \ {1, \ ldots, k \} [/ math]. Deje [math] S = A_1 + \ cdots + A_k [/ math], y observe que [math] S \ cap \ mathbb N \ ne \ emptyset [/ math] [math] ([/ math] since [math] | a_1 | \ en S \ cap \ mathbb N) [/ math]. Establezca [math] \ ell = \ min (S \ cap \ mathbb N) [/ math].

Afirmamos que [math] \ ell = \ gcd (a_1, \ ldots, a_k) [/ math].

Escriba [math] a_1 = q \ ell + r [/ math], con [math] 0 \ le r <\ ell [/ math]. Entonces [math] r = a_1-q \ ell \ en S [/ math]. Como [math] r <\ ell [/ math], [math] r = 0 [/ math] por definición de [math] \ ell [/ math]. Por lo tanto, [math] \ ell \ mid a_1 [/ math], y por el mismo razonamiento, [math] \ ell \ mid a_i [/ ​​math], [math] i \ in \ {1, \ ldots, k \} [ /matemáticas].

Suponga que [math] d \ mid a_i [/ ​​math] para cada [math] i [/ math]. Entonces [math] d [/ math] [math] \ mid (a_1m_1 + \ cdots + a_km_k) [/ math] para cada elección de [math] m_1, \ ldots, m_k \ in \ mathbb Z [/ math]. Por lo tanto, [math] d \ mid n [/ math] para cada [math] n \ en S [/ math], y en particular, [math] d \ mid \ ell [/ math].

Como [math] \ ell> 0 [/ math], se deduce que [math] \ ell = \ gcd (a_1, \ ldots, a_k) = g [/ math], lo que demuestra nuestra afirmación.

Como [math] g \ en S [/ math] y [math] S [/ math] está cerrado bajo [math] \ mathbb Z [/ math]-combinaciones lineales, [math] g \ mathbb Z \ subseteq S [/ matemáticas]. Por el contrario, cada [matemática] n \ en S [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] g [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] como se ve arriba [matemática]) [/ matemática], de modo que [matemática ] S \ subseteq g \ mathbb Z [/ math].

Por lo tanto, [math] S = a_1 \ mathbb Z + \ cdots + a_k \ mathbb Z = \ big \ {a_1m_1 + \ cdots + a_km_k: m_i \ in \ mathbb Z \ big \} = g \ mathbb Z [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Dado que [matemática] a = -1 [/ matemática] y [matemática] b = 3 [/ matemática] da 1, para cualquier número [matemática] n [/ matemática] tenemos [matemática] n = n \ cdot 1 = n \ cdot (-5 + 3 \ cdot 2) = – n \ cdot 5+ 3n \ cdot 2 [/ math]. Por lo tanto, los elementos del conjunto son todos enteros.

Answer 4

Lo que ha escrito podría ser la mejor manera de escribir esos elementos. Pero si desea una secuencia de términos específicos, entonces reemplazamos [math] a [/ math] y [math] b [/ math] con números y los organizamos de alguna manera. Así que tocaremos el violín. Llamemos a su conjunto [matemáticas] S [/ matemáticas]. Aquí hay algunos términos:

[matemáticas] 5a + 2b: 0,2,4,5,6,7,… [/ matemáticas]

Parece que todo lo pasado [matemáticas] 4 [/ matemáticas] está incluido. Si pudiéramos mostrar que [math] 1 [/ math] está incluido, entonces junto con [math] 0 [/ math], todos los no negativos están en el conjunto. Dado que podemos usar negativos para [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas], podemos escribir [matemáticas] 5 \ veces 1 + 2 \ veces {-2} = 1 [/ matemáticas]. Ahora [math] {0,1,2,3, …} [/ math] es un subconjunto de [math] S [/ math].

Del mismo modo, si podemos encontrar [matemáticas] -1 [/ matemáticas], todos los negativos también están en [matemáticas] S [/ matemáticas]. Bueno, [matemáticas] -1 = 5 \ veces1 + 2 \ veces {-3} [/ matemáticas].

Ahí lo tenemos, [matemáticas] S = Z [/ matemáticas].

Answer 5

Técnicamente, esto dará como resultado el conjunto de enteros porque cada entero se puede representar en forma de [matemáticas] 5a + 2b [/ matemáticas] [matemáticas] \ forall [/ matemáticas] [matemáticas] a, b \ in \ Z [ /matemáticas].

[matemáticas] \ implica \ {5a + 2b: a, b \ in \ Z \} = \ Z [/ matemáticas]

Answer 6

Deje a = 1, b = -2, luego 5a + 2b = 1. Entonces, si n es cualquier elemento de Z, se puede representar con , por lo que cada elemento de Z en el conjunto.