[matemáticas] 2015 = 5 \ veces 13 \ veces 31 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2017 ^ {2017} \ equiv 2 ^ {2017} \ mod 2015 [/ matemáticas]
usando el pequeño teorema de Fermat, y (2, 5), (2, 13), (2, 31) son números coprimos.
considere 5: [matemáticas] 2 ^ {2017} \ equiv 2 ^ {4 \ veces 504 + 1} \ equiv 2 \ mod 5 [/ matemáticas]
- Deje que [matemáticas] x [/ matemáticas], y [matemáticas] y [/ matemáticas], y [matemáticas] z [/ matemáticas] sean números reales que satisfagan [matemáticas] \ frac {x} {y + z} + \ frac { y} {z + x} + \ frac {z} {x + y} = 1 [/ math] ¿Cuál es el valor mínimo de [math] \ frac {x ^ 2} {y + z} + \ frac {y ^ 2} {z + x} + \ frac {z ^ 2} {x + y}? [/ Matemáticas]
- Dado un número entero [math] n [/ math] que es mayor que [math] 1 [/ math], ¿qué es [math] \ gcd (2 ^ n – 1, 3 ^ n – 1, \ ldots, n ^ n – 1) [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son los primos p para los cuales p + 3 es un cuadrado perfecto?
- ¿Cuántos valores integrales de N hacen que la expresión N ^ 2 + 100 N +1000 sea un cuadrado perfecto?
- ¿Cuántos triángulos con un área positiva tienen todos sus vértices en los puntos (a, b) en el plano de coordenadas, donde ‘a’ y ‘b’ son enteros entre 1 y 5, ambos inclusive?
considere 13: [matemáticas] 2 ^ {2017} \ equiv 2 ^ {12 \ veces 168 + 1} \ equiv 2 \ mod 13 [/ matemáticas]
considere 31: [matemáticas] 2 ^ {2017} \ equiv 2 ^ {30 \ veces 67 + 7} \ equiv 2 ^ 7 \ equiv 4 \ mod 31 [/ matemáticas]
a continuación, combine [matemática] 2 \ mod 5 [/ matemática] y [matemática] 2 \ mod 13 [/ matemática], podemos encontrar [matemática] 2 ^ {2017} \ equiv 2 \ mod 65 [/ matemática], entonces podemos escribir [matemáticas] 2 ^ {2017} = 65m + 2 [/ matemáticas] (implica [matemáticas] 2 ^ {2017} \ equiv 65m + 2 \ mod 65 [/ matemáticas])
[matemática] 4 \ equiv 2 ^ {2017} = 65m + 2 \ equiv 3m + 2 \ mod 31 [/ matemática]
[matemática] 3m \ equiv 2 \ equiv 33 \ mod 31 [/ matemática]
[math] m = 11 \ mod 31 [/ math] es una solución, dará lugar a [math] 2 ^ {2017} \ equiv 717 \ mod 31 [/ math].
entonces, [matemáticas] 2017 ^ {2017} \ equiv 2 ^ {2017} \ equiv 717 \ mod 2015 [/ matemáticas]