¿Cuántas soluciones enteras positivas (a, b) hay en la ecuación a ^ 2 + b ^ 2 + (a + b) ^ 2 = b ^ 3 donde 0 <b <2017?

Answer 1

Reclamación. Las únicas soluciones a la ecuación.

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + (a + b) ^ 2 = b ^ 3 \ ldots (\ star) [/ matemáticas]

con [math] a \ in \ mathbb N [/ math] y [math] b \ in \ mathbb N [/ math] viene dado por

[matemáticas] a = 2k (k ^ 2 + k + 1), b = 2 (k ^ 2 + k + 1), k \ in \ mathbb N [/ matemáticas].

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Divide ambos lados de [matemáticas] 2b ^ 3 = 2 \ grande (a ^ 2 + b ^ 2 + (a + b) ^ 2 \ grande) = 4a ^ 2 + 4ab + 4b ^ 2 [/ matemática] por [matemática ] b ^ 2 [/ math] para obtener [math] 4k ^ 2 + 4k-2 (b-2) = 0 [/ math], donde [math] k = \ frac {a} {b} [/ math] . Por lo tanto, [math] (2k + 1) ^ 2 = 2b-3 \ in \ mathbb N [/ math]. De ello se deduce que [math] 2k + 1 [/ math] es un entero impar , de modo que [math] k \ in \ mathbb N [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] b = \ frac {(2k + 1) ^ 2 + 3} {2} = 2k ^ 2 + 2k + 2 = 2 (k ^ 2 + k + 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] a = kb [/ math], con [math] k \ in \ mathbb N [/ math].

Por el contrario, para cada [math] k \ in \ mathbb N [/ math], se puede verificar que

[matemáticas] (a, b) = \ big (2k (k ^ 2 + k + 1), 2 (k ^ 2 + k + 1) \ big) = 2 (k ^ 2 + k + 1) \ cdot ( k, 1) [/ matemáticas]

es una solución a la ecuación dada. En efecto,

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + (a + b) ^ 2 = (kb) ^ 2 + b ^ 2 + \ big ((k + 1) b \ big) ^ 2 = b ^ 2 \ big ( 2k ^ 2 + 2k + 2 \ big) = b ^ 3 [/ matemáticas].

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Dado que [math] f (x) = x ^ 2 + x + 1 [/ math] es una función creciente en el intervalo [math] [1, \ infty) [/ math] y [math] (2k + 1) ^ 2 + 3 = 4 (k ^ 2 + k + 1) = 2b \ le 4032 [/ math] si y solo si [math] k \ le 31 [/ math], hay valores [math] 31 [/ math] de [matemática] k [/ matemática] ecuación satisfactoria. [math] (\ star) [/ math] correspondiente a [math] b \ in \ {1,2,3, \ ldots, 2016 \} [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Simplificar el lado izquierdo da 2a ^ 2 + 2ab + 2b ^ 2 = b ^ 3. Claramente b debe ser par.

Comenzamos mostrando que [math] b [/ math] no es divisible por [math] 4 [/ math]. Entonces, escriba la ecuación como un cuadrático en [matemática] a [/ matemática] que se parece a [matemática] 2 {a ^ 2} + 2ab + 2 {b ^ 2} – {b ^ 3} = 0 [/ matemática]. Si a es un número entero, entonces su discriminante debe ser un cuadrado perfecto. Eso significa que [matemáticas] 4 {b ^ 2} (2b – 3) [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto o más bien [matemáticas] 2b – 3 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto. Si [math] 4 [/ math] divide [math] b [/ math], podemos decir que [math] b = 4p [/ math] para algunos [math] p [/ math]. Entonces [matemáticas] 8p-3 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto. Sin embargo, los cuadrados perfectos son congruentes con [matemática] 0, 1 [/ matemática] o [matemática] 4 \ bmod 8 [/ matemática]

Ahora suponga que [math] b_1 [/ math] es el valor más pequeño de [math] b [/ math] que satisface la ecuación. Entonces [math] b_n = b_ {n-1} + 4n [/ math] que tiene la fórmula explícita [math] b_n = b_1 + 2n ^ 2 + 2n-4 [/ math].

El valor más pequeño de [math] b [/ math] es [math] b_1 = 6 [/ math] que produce la secuencia proporcionada por David Smith. De 6 a 14, solo no hay un múltiplo de 4 es 10, lo que no satisface la ecuación dada y, por lo tanto, el segundo valor más pequeño de b es 14 y así

[math] b_n = b_1 + 2n ^ 2 + 2n-4 [/ math] proporciona todos ellos.

Answer 3

Tengo que admitir que no hice matemáticas inteligentes aquí. Simplemente escribí un programa para recorrer los posibles valores de [matemáticas] b [/ matemáticas] de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 2016 [/ matemáticas], calculado [matemáticas] a [/ matemáticas] a partir de cuadrático e informó las respuestas cuando [math] a [/ math] es un entero positivo.

Hay 31 soluciones para [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] con [matemáticas] a, b \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ matemáticas] y [matemáticas] b <2017 [/ matemáticas].

Después de eso, me di cuenta de que hay una secuencia simple.

[matemáticas] b = 2n ^ 2 + 2n + 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = nb [/ matemáticas]

Los valores [math] b [/ math] simplemente son enteros tales que [math] 2

Estas soluciones son:

1: (6, 6)
2: (28, 14)
3: (78, 26)
4: (168, 42)
5: (310, 62)
6: (516, 86)
7: (798, 114)
8: (1168, 146)
9: (1638, 182)
10: (2220, 222)
11: (2926, 266)
12: (3768, 314)
13: (4758, 366)
14: (5908, 422)
15: (7230, 482)
16: (8736, 546)
17: (10438, 614)
18: (12348, 686)
19: (14478, 762)
20: (16840, 842)
21: (19446, 926)
22: (22308, 1014)
23: (25438, 1106)
24: (28848, 1202)
25: (32550, 1302)
26: (36556, 1406)
27: (40878, 1514)
28: (45528, 1626)
29: (50518, 1742)
30: (55860, 1862)
31: (61566, 1986)

Aquí está el código C # ([matemática] b [/ matemática] comienza en [matemática] 3 [/ matemática] para eliminar un caso imposible en [matemática] b = 1 [/ matemática] y una solución no permitida con [matemática] b = 2, a = 0 [/ matemáticas]):

int n = 0;
para (largo b = 3; b <2017; b ++)
{
largo a = (largo) Math.Round ((Math.Sqrt (2 * b-3) – 1) * b / 2);
if (a * a + b * b + (a + b) * (a + b) == b * b * b)
Console.WriteLine (“{0}: ({1}, {2})”, ++ n, a, b);
}