Un poco de trasfondo: el conjunto de enteros (y el conjunto de racionales y otros conjuntos) es infinito. Hay un símbolo (aleph0) utilizado para este número para facilitar el debate. Hay reglas para tratar con la aritmética en conjuntos infinitos. Una idea simple es que dos (infinitos) conjuntos infinitos tienen el “mismo tamaño” que otro si existe una correspondencia 1-1 entre los elementos de estos conjuntos. Tenga en cuenta que esto no significa que un conjunto no tenga miembros que el otro tenga. Ejemplo, los enteros pares pueden apostar en correspondencia 1-1 con todos los enteros: 1 y 2, 2 y 4, 3 y 6 … A continuación, los números reales (entre 0 y 1) se pueden representar mediante cadenas binarias infinitas: .1000 … representa 1/2, .010101 … representa 1/3, etc. Por esta construcción, hay 2 ^ (aleph0) reales posibles números (2 opciones en aleph0 lugares). El conjunto de reales se llama continuo que puede identificarse con la “línea real” y, por lo tanto, es un modelo para la geometría.
Georg Cantor desarrolló estos argumentos durante el período 1870-1918. Desarrolló las propiedades aritméticas de conjuntos infinitos y varios tipos de argumentos para derivar propiedades de estos conjuntos. En particular, el segundo argumento diagonal de Cantor muestra que el conjunto de reales es estrictamente más grande que el conjunto de enteros. Básicamente, (prueba por contradicción) dada una lista de reales, uno crea otro real que difiere del primer elemento de la lista en el primer lugar (binario) y del segundo elemento en el segundo lugar, del tercer elemento en el tercer lugar, etc. Este real no puede estar en la lista de reales, ya que difiere de cada número en la lista. Si el número neto se agrega a la lista, el mismo argumento se aplica a la nueva lista.
Así que ahora hemos descrito dos conjuntos infinitos (enteros y reales) con uno más grande que el otro. El conjunto de todas las funciones, desde números reales hasta números reales, es mayor que el conjunto de reales (segundo argumento diagonal de Cantor).
La pregunta que surge naturalmente es si hay conjuntos infinitos que sean más grandes que el conjunto de enteros y más pequeños que el conjunto de reales. (El nombre técnico para el número de elementos en un conjunto es “cardinalidad”).
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Finalmente: la hipótesis del continuo: no hay un conjunto con cardinalidad mayor que la de los enteros y menor que la de los reales. El punto interesante es que esta afirmación no se puede probar a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, la geometría y la aritmética. En la década de 1960 se demostró que la Hipótesis Continua tampoco puede ser refutada. Agregar la hipótesis del continuo o su negación a los axiomas de las matemáticas no da como resultado resultados falsos que aún no existen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Co…