Sí, eso es absolutamente correcto, suponiendo que los tres puntos son distintos. (Piense en y = x ^ 3, que no tiene punto máximo ni punto mínimo). Y sí, se aplica tanto a y como a x. Ver referencia 1 a continuación.
La razón por la cual esto es cierto es un hecho fascinante acerca de las funciones cuadráticas f (x) (funciones de segundo grado), y solo las cuadráticas (con lo cual me refiero a todos los polinomios de grado 2 o inferiores, aunque generalmente queremos decir exactamente grado 2):
Dados dos números reales a, b con a <b, la derivada en el punto medio (a + b) / 2 es igual al promedio de las derivadas en x = a y x = b. Usando notación, tenemos:
f ‘([a + b) / 2]) = [f’ (a) + f ‘(b)] / 2
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He usado [y] para hacer esto un poco más legible y para distinguirlo de los paréntesis de funciones simples.
Para una prueba de esto, vea la referencia 2.
Referencia:
1. Michael W. Ecker, Descubriendo la simetría en polinomios cúbicos , The MATYC Journal , Spring 1981.
2. Michael W. Ecker, Promedios y medias en el cálculo elemental, educador MathAMATYC , mayo de 2014, vol. 5, núm. 3, pág. 56-57.