¿Cuál es la próxima gran cosa que los matemáticos están tratando de resolver?

No hay una sola “próxima gran cosa” que los matemáticos estén tratando de resolver. Hay muchas cosas importantes a continuación, y a veces la próxima gran cosa que realmente tiene lugar no es ninguna de las próximas grandes cosas que nadie esperaba. Pero podemos intentar, con cautela, retratar algunos de los desafíos más importantes que se avecinan, que probablemente atraerán atención y esfuerzo.

¿Cómo podemos identificar estos desafíos? Hay algunas fuentes razonables:

  • La famosa lista de 23 problemas de Hilbert [1] es lo más cercano que hemos tenido a una descripción explícita de los mayores problemas matemáticos que enfrentamos. Esto fue en 1900, pero varios de los problemas todavía se resuelven parcialmente o no se resuelven.
  • Los siete problemas del milenio del Clay Mathematics Institute [2] abordaron una necesidad similar en el año 2000. Solo uno de los siete se ha resuelto.
  • Libros, artículos y otras publicaciones que abordan temas para el futuro de las matemáticas, como el tomo “Mathematics Unlimited – 2001 and beyond [3]” de Engquist y Schmid (eds.)

Cualquier persona que intente escribir una lista de este tipo está destinada a ser al menos un tanto sesgada, y probablemente a menudo equivocada. Probablemente estaré más que parcializado y con más frecuencia equivocado, pero haré lo mejor que pueda, por lo que valga.


Complejidad, computabilidad y lógica

Las preguntas fundamentales de lo que se puede calcular y cuán eficientemente están íntimamente relacionadas con las preguntas de lógica matemática: pruebas, modelos y los límites del esfuerzo matemático. De hecho, una de las meta-preguntas aquí es, en mi opinión: ¿cuál es el futuro de las matemáticas, ahora que las computadoras han comenzado a aumentar nuestras propias habilidades? Esta pregunta será respondida, de una forma u otra, en los próximos 100 años.

Hay, sin duda, problemas más concretos que estamos enfrentando. El más famoso es, por supuesto, P vs NP [4], que es uno de los problemas del Milenio (y, en mi humilde opinión, el más profundo). Además de esta madre de todos los problemas, hacer una mella significativa en la jerarquía polinómica y el zoológico de complejidad es “la próxima gran cosa” para toda una industria de pensadores, trabajando en una deslumbrante variedad de clases de complejidad [5]. Específicamente, comprender el significado teórico y práctico de la computación cuántica es un esfuerzo importante para las próximas décadas.

Una de las direcciones más intrigantes (aunque especulativas) en el área de computabilidad, demostrabilidad y fundamentos es la Teoría del tipo de homotopía [6] y Fundamentos univalentes [7] cuyo desarrollo fue profundamente y trágicamente retrasado por la muerte prematura, en septiembre de 2017, de Medallista de campos Vladimir Voevodsky [8].

Foto de Andrea Kane.

Voevodsky era, entre muchas otras cosas, un cauteloso intuicionista, o al menos estaba intrigado por el intuicionismo y el finitismo como posible fundamento de aspectos matemáticos. Mi creencia personal es que los métodos e ideas finitistas jugarán un papel importante en el futuro de las matemáticas, no porque sean de alguna manera filosófica o moralmente superiores, sino porque son interesantes.

Hemos aprendido mucho sobre la capacidad de prueba, pero creo que solo hemos visto la complejidad de la prueba. ¿Qué pasa si una conjetura teórica de números es falsa, pero se mantiene hasta un número vasto e incuestionable? ¿Qué sucede si una declaración es demostrable en ZFC, pero la prueba más corta es TREE (999) caracteres de largo? Creo que el esclarecimiento de las fascinantes fronteras del pensamiento factible continuará definiendo piezas centrales de las matemáticas durante décadas o siglos.


El programa Langlands

Robert Langlands [9] es otra persona cuya visión es lo suficientemente profunda y de gran alcance como para crear un programa completo, uno que ha guiado la vida de muchas personas desde finales de los años 60 y está lejos de quedarse sin vapor. El programa Langlands ha sido llamado “Una gran teoría unificada de las matemáticas” por Edward Frenkel [10], y creo que esto es solo una ligera exageración. Es un programa increíblemente atrevido, y es peculiar que esté ausente de algunas de las fuentes que he mencionado.

Describir el programa es una tarea desalentadora. En “Una introducción elemental al programa Langlands [11]”, Stephen Gelbart escribe

Aquí radica la agonía y el éxtasis del programa de Langlands. Para decir simplemente las conjeturas correctamente se requiere mucha de la maquinaria de la teoría de campo de clase, la teoría de la estructura de los grupos algebraicos, la teoría de la representación de los grupos reales y [matemáticos] p [/ matemáticos] y (al menos) el lenguaje de los álgebraicos. geometría. En otras palabras, aunque las recompensas prometidas son excelentes, el proceso de iniciación es prohibitivo.

Muy, muy a grandes rasgos, el Programa Langlands propone que todas las series [matemáticas] L [/ matemáticas], objetos tradicionales de importancia central en la teoría de números, “provengan” de representaciones de ciertos grupos. Conecta formas automorfas, la teoría de los adeles, la teoría de la representación y muchos otros hilos de geometría, álgebra, análisis y teoría de números.

El Programa Langlands no es una sola pregunta o conjetura. Es toda una red de ideas. La prueba de Ngô Bảo Châu [12] del “Lema fundamental [13]” y la prueba de Laurent Lafforgue [14] de la correspondencia de Langlands sobre los campos de funciones fueron logros tremendos que les valieron a ambos una medalla Fields, pero son solo pasos en el gran programa . Aún queda mucho por descubrir y hacer, y estoy bastante seguro de que el progreso en el programa continuará sucediendo en las próximas décadas.


Dibujos infantiles

Sé que parece un poco irónico, pero es solo un poco. La idea de “dessins d’enfants [15]” es uno de los legados de Alexander Grothendieck [16], y afirmo que dilucidar, aclarar y construir sobre las ideas de Grothendieck es un desafío significativo para las matemáticas.

Específicamente, dessins d’enfants ofrece una perspectiva sobre un objeto que (en mi opinión personal) es una de las cosas más misteriosas y magníficas del universo profundo y verdadero (el que es indiferente a los grilletes de nuestro mundo físico real y aleatorio) ) Es quizás el más misterioso y magnífico de todos: el grupo absoluto de Galois [matemáticas] \ text {Gal} (\ overline {\ mathbb {Q}} / \ mathbb {Q}) [/ math]. Cualquier progreso que se esté haciendo en la comprensión de este grupo profundo, y el progreso, estoy seguro, se hará, arrojará luz sobre las preguntas más profundas en la teoría de números y más allá. La idea de Grothendieck no es la única dirección, pero es prometedora y emocionante, como casi todo lo que se le ocurrió a este hombre singular.

Muchas personas increíbles y dedicadas persiguen otro hilo de las ideas de Grothendieck, el de las categorías superiores y la teoría de los tópicos, tal vez Jacob Lurie [17] más vigorosamente. No creo que podamos esperar que termine todo por su cuenta, por muy ingenioso que sea. Es difícil de predecir, pero es posible que la teoría de categoría superior crezca en importancia para desempeñar un papel absolutamente central en las matemáticas futuras. También, por cierto, está estrechamente relacionado con algunas de las ideas que mencioné en la primera sección (fundamentos univalentes, etc.).


La matemática de la física

Uno de los 23 problemas más ambiciosos y vagos de Hilbert es el sexto [18]. Está redactado:

6. Tratamiento matemático de los axiomas de la física. Las investigaciones sobre los fundamentos de la geometría sugieren el problema: tratar de la misma manera, por medio de axiomas, aquellas ciencias físicas en las que hoy en día las matemáticas juegan un papel importante; en el primer rango están la teoría de las probabilidades y la mecánica.

Recuerde: esto es 1900. Antes de 1905 de Einstein [19], antes de la Relatividad General, antes de la Mecánica Cuántica, antes de la Teoría del Modelo Estándar y del Campo Cuántico y la Teoría de la Superalma. Hilbert no podría haber sabido cuán lejos estaban sus colegas de física de comprender la física, y mucho menos axiomatizarla. Y el desafío sigue siendo: formar un marco matemático coherente y unificado que describa nuestro mundo físico.

De este esfuerzo masivo, el Clay Mathematics Institute eligió un desafío mucho más concreto, pero aún profundo, para los Problemas del Milenio: el problema [20] de establecer una teoría de Yang-Mills correspondiente a cualquier grupo de indicadores, y demostrar que tiene un mínimo masa. Una forma diferente de formular este desafío en un contexto matemático es, quizás: organizar, axiomatizar y comprender las teorías de campo cuántico topológico.

En una maravillosa encuesta que describe el problema de Yang-Mills, Jaffe y Witten escribieron [21]:

… Todavía no se tiene un ejemplo matemáticamente completo de una teoría de calibre cuántico en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, ni siquiera una definición precisa de la teoría de calibre cuántico en cuatro dimensiones. ¿Cambiará esto en el siglo XXI? ¡Eso esperamos!

Sin duda, la física plantea muchos otros desafíos adicionales para las matemáticas. Otro Problema del Milenio [22] busca una prueba (o refutación) de que las ecuaciones de Navier-Stokes [23] admiten una solución suave dadas las condiciones de contorno suaves.

Estas son ecuaciones que describen el movimiento fluido; no son cuánticos ni relativistas ni nada, pero son fundamentales para nuestra comprensión del mundo macroscópico. Además, son un ejemplo clave de ecuaciones diferenciales parciales no lineales (PDE), y la comprensión de PDE no lineales es un desafío matemático enorme y multifacético. Realmente, realmente queremos entender si, a pesar de su naturaleza caótica, tales ecuaciones siempre tienen soluciones suaves o si pueden “descomponerse” dadas las condiciones iniciales correctas.

Específicamente para Navier-Stokes, creo que muchas personas solo están esperando que Terry Tao se deshaga de la maldita cosa, a pesar de que hasta ahora ha progresado en mostrar por qué el problema es más difícil de lo que parece. Por cierto, la forma en que lo hace insinúa el establecimiento de modelos computacionales “suficientemente fuertes” en el marco de la dinámica de fluidos, lo que nos lleva de vuelta al dominio de la computabilidad y las pruebas. Si las soluciones para PDE no lineales son lo suficientemente ricas como para acomodar una lógica no trivial, puede ser que ciertos problemas en PDE sean tan insolubles como el problema de detención.

Ya sea Tao u otra persona, avanzar aquí sería enorme.


La hipótesis (generalizada) de Riemann

Otro candidato importante para “la próxima gran cosa” es la Hipótesis de Riemann, el único problema del Milenio que sobrevivió intacto desde la lista de Hilbert en 1900. Puede que no sea “la próxima gran cosa” en términos de ser resuelto: el cielo sabe cuánto tiempo esto podría tomar, pero seguramente continuará consumiendo las mentes, las esperanzas y los sueños de las personas.

La hipótesis de Riemann parece un tanto exótica: se trata de una función específica, la función zeta de Riemann [matemáticas] \ zeta (s) [/ matemáticas], y pregunta acerca de la ubicación de sus raíces (además de una serie de funciones “triviales” ) Se espera que todos estén en la línea [math] \ Re (s) = \ frac {1} {2} [/ math].

Las funciones específicas y sus raíces no suelen ser una cuestión de interés universal, pero esta es una gran excepción. La función zeta de Riemann tiene una importancia central en varios campos de las matemáticas (más obviamente, la teoría de números). Además, existe una generalización natural de la Hipótesis de Riemann que se ocupa de otras funciones zeta y tiene aplicaciones de mayor alcance que la RH sola.

Este problema se ha mantenido durante más de 150 años, y no creo que vaya a desaparecer pronto. Siempre que alguien lo demuestre, o incluso mejore significativamente nuestra comprensión de la dificultad, esa es la próxima gran cosa.


La conjetura ABC

Desde su introducción a mediados de los años 80, se descubrió que la conjetura ABC [24] ofrece una forma unificada de comprender muchos problemas antiguos y nuevos en la teoría de números. De hecho, su prueba implicaría [25] muchos de los problemas ganadores de Fields de los últimos 50 años, y regularmente aparecen documentos que muestran que implica este o aquel problema abierto.

El problema no está resuelto. Estoy señalando esto, ya que actualmente hay un estado de cosas bastante confuso en el que una prueba propuesta por Shinichi Mochizuki [26] no ha sido confirmada desde 2012, y hasta ahora solo un número muy pequeño de matemáticos cree que sí prueba el ABC Conjetura. Se han hecho muchas preguntas sobre esto [27] [28] [29] en [30] Quora [31].

(Esta situación me entristece. La Conjetura ABC es algo bello, y el profundo trabajo realizado a su alrededor es realmente emocionante e intrigante. Pero el público en general se siente atraído por el drama, y ​​el drama oscurece la esencia real de la teoría. No hay razón para estar emocionado por la prueba de Mochizuki. Todavía no, de todos modos.)

Desarrollar la “Teoría de Teichmüller Inter-Universal” de Mochizuki, si es posible, será un progreso monumental. Alternativamente, encontrar otras formas de atacar la ABC Conjecure y la Conjetura de Szpiro estrechamente relacionada [32] sin duda calificaría como una gran cosa.


No hay escasez de grandes problemas abiertos en muchas otras áreas de las matemáticas, cualquiera de las cuales podría ser la próxima gran cosa. No sabemos a dónde nos llevarán las cosas, o qué innovaciones dramáticas nuevas transformarían parte o la totalidad de las matemáticas. El siglo pasado fue transformador; es completamente razonable que este también lo sea.

Notas al pie

[1] Problemas de Hilbert – Wikipedia

[2] Instituto de Matemáticas Clay

[3] Matemáticas ilimitadas – 2001 y más allá | Björn Engquist | Saltador

[4] Instituto de Matemáticas Clay

[5] Complejidad del zoológico

[6] Teoría del tipo de homotopía – Wikipedia

[7] Fundamentos univalentes – Wikipedia

[8] Vladimir Voevodsky 1966–2017

[9] Robert Langlands – Wikipedia

[10] Edward Frenkel – Wikipedia

[11] Boletín de la American Mathematical Society

[12] Ngô Bảo Châu – Wikipedia

[13] Lema fundamental (programa Langlands) – Wikipedia

[14] Laurent Lafforgue – Wikipedia

[15] Dessin d’enfant – Wikipedia

[16] Alexander Grothendieck – Wikipedia

[17] Jacob Lurie – Wikipedia

[18] Sexto problema de Hilbert – Wikipedia

[19] Documentos de Annus Mirabilis – Wikipedia

[20] Existencia de Yang – Mills y brecha de masa – Wikipedia

[21] http://www.claymath.org/sites/de…

[22] http://www.claymath.org/sites/de…

[23] Ecuaciones de Navier-Stokes – Wikipedia

[24] conjetura abc – Wikipedia

[25] http://www.ams.org/notices/20021…

[26] Shinichi Mochizuki – Wikipedia

[27] ¿Cuál es la razón por la cual la prueba para la conjetura ABC de Shinichi Mochizuki todavía no se ha considerado generalmente como una prueba que pasa la etapa de revisión por pares como de costumbre, aunque ya había sido examinada por más de 10 matemáticos?

[28] ¿Shinichi Mochizuki resolvió la Conjetura ABC?

[29] ¿Qué tan difícil es penetrar la prueba no verificada de Mochizuki de la conjetura abc?

[30] ¿Qué piensa Terence Tao de la prueba de Mochizuki de la conjetura abc?

[31] ¿Ya se ha verificado la prueba de la conjetura ABC, escrita por Shinichi Mochizuki?

[32] Conjetura de Szpiro – Wikipedia

En mi humilde opinión, los futuros héroes / heroínas de matemático deberían emparejarse hoy con los físicos para avanzar y refinar las ecuaciones de urdimbre de Alcubierre ahora altamente especulativas.

Lo entiendo. La IA y el aprendizaje automático están de moda, y deberían estarlo. Pero necesitamos precisar lo que Alcubierre-Whitman ha señalado: – una forma de liberarnos de la propulsión química / inercial. Llegar a Marte con la tecnología de propulsión actual es fundamental para cruzar el Atlántico en veleros antiguos o algo peor.

Tal vez, una vasija de urdimbre primitiva todavía reduciría una enorme cantidad de tiempo de una futura misión marciana. Pero ese recipiente nunca se materializará si los matemáticos y físicos no comienzan hoy a encontrar esas ecuaciones para los ingenieros.

Creo que los matemáticos están tratando de descubrir la prueba sustancial de la “Hipótesis de Riemann”. Como sabemos, la hipótesis de Riemann implica resultados sobre la distribución de números primos por medio de los cuales podemos trazar el patrón y el comportamiento recurrente de los números.

Muchas cosas diferentes, dependiendo del campo que pidas.

Es como preguntar: “¿en qué están trabajando los ingenieros?” Bueno, depende de la empresa en la que trabajen y de qué tipo de ingeniero sean.

Lo mismo en matemáticas: ¿en qué campo de las matemáticas trabajan y cuáles son sus intereses específicos? Eso determinará en qué están trabajando.


Estoy seguro de que puede obtener una variedad de respuestas de matemáticos específicos sobre en qué están trabajando, o algunas listas generales (como los problemas del Milenio), pero honestamente, cualquier descripción será al menos una caracterización errónea moderada del campo en general.

Las matemáticas no son un campo homogéneo donde alguien dice “estos son los objetivos que estamos persiguiendo”; en cambio, está mucho más cerca si las personas persiguen sus propios intereses de maneras que coinciden para apoyarse mutuamente.


O, tal vez, una mejor manera de expresarlo es: ¿cuál es la última gran cosa que los matemáticos intentaban resolver?

No hay uno Y nunca ha habido.

Podría decirse que ha habido el último gran resultado que se resolvió, pero ese fue uno de los problemas que se persiguió entre muchos, y no fue el resultado de que todas las matemáticas concentraran su atención en una sola salida.

Algo genial que las matemáticas puedan resolver o desarrollar en el futuro (con suerte) es un patrón para los números primos. O alguna otra cosa genial por descubrir. Además, si divide un número entre 7, debería obtener un resto con un patrón de 5/6 números. (Repitiendo)

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