¿Cómo descubrieron (o dedujeron) los matemáticos la relación íntima entre funciones trigonométricas y exponenciales complejas?

La respuesta es: expansiones de Maclaurin.

Los matemáticos estaban tratando de encontrar una manera de hacer que el cálculo de una función no polinómica (como una función exponencial, logaritmo o trigonométrica) sea más fácil al convertirlo en algún tipo de polinomio utilizando la diferenciación …

El resultado: inventaron las series Taylor y Maclaurin para funciones infinitamente diferenciables.

Es entonces cuando un genio matemático habría descubierto algo asombroso. No estoy seguro de si esto es exactamente cómo sucedió, pero algo como esto:

  1. Primero, observa que la expansión de Maclaurin de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 3} {3!} + …[/matemáticas]
  2. Luego, colocando [math] i [/ math] delante de [math] x [/ math] en el argumento, obtiene la expansión infinita de [math] e ^ {ix} [/ math] como: [math] 1 + ix- \ frac {x ^ 2} {2!} – \ frac {ix ^ 3} {3!} +… [/ Matemáticas]
  3. Luego, determina las series para las funciones seno y coseno, que son: [matemáticas] x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} -… [/ matemáticas] y [matemáticas] 1- \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} -… [/ matemáticas] respectivamente.
  4. Casi ha terminado … Inmediatamente ve la ecuación que emerge de las tres series que obtuvo en los pasos 2 y 3 (¡porque es un genio!).
  5. Y he aquí, la serie en 2) es exactamente igual a la serie de la función coseno agregada con la serie de la función seno multiplicada por una [matemática] i. [/ Matemática] ¡Es simplemente una cuestión de reorganizar los términos ahora!
  6. Y finalmente, puede deducir que [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas]

Esta es la fórmula de Euler más famosa, y como habrás adivinado, el genio matemático sobre el que he estado hablando no era otro que Leonhard Euler.

( PD: no puedo evitar dar un paso más y completar el gran proceso agregando un paso 7) )

7. Pon [math] x = \ pi [/ math] y obtienes [math] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ math] que se puede reorganizar para obtener:

[matemáticas] \ en caja {e ^ {i \ pi} + 1 = 0} [/ matemáticas]

También conocida como la identidad de Euler, es la ecuación más hermosa en todas las matemáticas que conecta tantas ramas diferentes de las matemáticas: [matemáticas] e [/ matemáticas] (teoría de números y cálculo), [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] ( trigonometría o geometría en general), [matemáticas] i [/ matemáticas] (aritmética compleja), [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas] (aritmética básica diaria).

El matemático suizo, Euler, realizó gran parte del trabajo (mencionado anteriormente) a principios del siglo XVIII.

More Interesting

¿Qué piensan los matemáticos de la física?

¿En qué se diferencian la American Mathematical Society (AMS) y la Mathematical Association of America (MAA)?

La madurez matemática es un término que los matemáticos usan para describir el tipo de sabiduría práctica y confianza que un estudiante solo puede obtener con una exposición repetida y ecléctica a problemas y conceptos en matemáticas. ¿Cómo describirías la madurez de la programación?

¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] \ begin {vmatrix} 2014 ^ {2014} y 2015 ^ {2015} y 2016 ^ {2016} \\ 2017 ^ {2017} y 2018 ^ {2018} y 2019 ^ {2019} \ \ 2020 ^ {2020} y 2021 ^ {2021} y 2022 ^ {2022} \ end {vmatrix} [/ math] se divide por 5?

¿Cuándo alcanzarán los matemáticos su límite creativo? Es decir, ¿llegará el momento en que los matemáticos pasen toda su vida aprendiendo el cuerpo matemático existente y, por lo tanto, no tengan tiempo para crear nuevas teorías?

¿Los matemáticos piensan que todas las verdades matemáticas tienen fundamentos necesarios para su veracidad, sin espacio en la arena matemática para la arbitrariedad o contingencia?

Deje g ser una función continua. ¿Cómo calculo los valores de la constante c tal que [matemática] \ displaystyle \ int_ {c} ^ xg (t) dt = 4x ^ {3} -36x? [/ Matemática]

¿Están los matemáticos subestimados y los físicos sobrevalorados por el grupo demográfico más amplio? Si las ciencias fueran una película, ¿serían los físicos los actores glamorosos, mientras que los matemáticos los guionistas brillantes que merecen mucho más crédito?

¿Por qué los matemáticos encuentran los nudos tan interesantes?