La respuesta es: expansiones de Maclaurin.
Los matemáticos estaban tratando de encontrar una manera de hacer que el cálculo de una función no polinómica (como una función exponencial, logaritmo o trigonométrica) sea más fácil al convertirlo en algún tipo de polinomio utilizando la diferenciación …
El resultado: inventaron las series Taylor y Maclaurin para funciones infinitamente diferenciables.
Es entonces cuando un genio matemático habría descubierto algo asombroso. No estoy seguro de si esto es exactamente cómo sucedió, pero algo como esto:
- ¿Por qué pagamos matemáticos puros?
- En la ecuación polinómica de tercer grado, ¿son los puntos (x, y) de mínimo, inflexión y máximo en progresión aritmética, en este orden? Si no, ¿es verdad solo para x o y?
- 16 caballeros están sentados en una mesa circular, se requieren 7 caballeros para rescatar a una niña. Todos los caballeros consecutivos son hostiles entre sí. ¿Cuántas formas de seleccionar 7 caballeros de modo que no se puedan unir 2 hostiles?
- ¿Tener ADD reducirá significativamente mis posibilidades de convertirme en un buen matemático y / o físico?
- ¿Cuál es tu número favorito y por qué?
- Primero, observa que la expansión de Maclaurin de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 3} {3!} + …[/matemáticas]
- Luego, colocando [math] i [/ math] delante de [math] x [/ math] en el argumento, obtiene la expansión infinita de [math] e ^ {ix} [/ math] como: [math] 1 + ix- \ frac {x ^ 2} {2!} – \ frac {ix ^ 3} {3!} +… [/ Matemáticas]
- Luego, determina las series para las funciones seno y coseno, que son: [matemáticas] x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} -… [/ matemáticas] y [matemáticas] 1- \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} -… [/ matemáticas] respectivamente.
- Casi ha terminado … Inmediatamente ve la ecuación que emerge de las tres series que obtuvo en los pasos 2 y 3 (¡porque es un genio!).
- Y he aquí, la serie en 2) es exactamente igual a la serie de la función coseno agregada con la serie de la función seno multiplicada por una [matemática] i. [/ Matemática] ¡Es simplemente una cuestión de reorganizar los términos ahora!
- Y finalmente, puede deducir que [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas]
Esta es la fórmula de Euler más famosa, y como habrás adivinado, el genio matemático sobre el que he estado hablando no era otro que Leonhard Euler.
( PD: no puedo evitar dar un paso más y completar el gran proceso agregando un paso 7) )
7. Pon [math] x = \ pi [/ math] y obtienes [math] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ math] que se puede reorganizar para obtener:
[matemáticas] \ en caja {e ^ {i \ pi} + 1 = 0} [/ matemáticas]
También conocida como la identidad de Euler, es la ecuación más hermosa en todas las matemáticas que conecta tantas ramas diferentes de las matemáticas: [matemáticas] e [/ matemáticas] (teoría de números y cálculo), [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] ( trigonometría o geometría en general), [matemáticas] i [/ matemáticas] (aritmética compleja), [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas] (aritmética básica diaria).