Como matemático, ¿cuál crees que es la forma ideal de enseñar matemáticas en la Universidad?

Answer 1

No creo que esté calificado para asumir un buen programa educativo para las matemáticas (como, en qué áreas comenzar). Sin embargo, quiero poner mis dos centavos en relación con un enfoque general de explicar un tema.

Según cómo funcionan nuestra memoria y percepción, los siguientes puntos parecen ser generalmente ciertos:

• Recordamos mejor cuando el cerebro conecta la información a un evento emocional.
• Necesitamos conectar nuevos conocimientos al conocimiento que ya tenemos.
• Necesitamos repetir cosas nuevas varias veces durante un corto período de tiempo para olvidarlas a un ritmo mucho más lento.

• Diferentes personas se basan en diferentes tipos de percepción: sonido, visual, táctil.
• Algunas personas prefieren el enfoque de arriba hacia abajo (deductivo), algunas personas prefieren ejemplos generalizados (inductivo).

Basado en ellos, creo que la mejor manera de enseñar matemáticas debería incorporar los siguientes puntos:

• Necesitamos maestros carismáticos con grandes personalidades que puedan inspirar emociones. Un maestro promedio en persona es peor que un chico de clase mundial grabado. De ninguna manera me refiero a los chicos que hablan dulcemente de “ciencia popular”, son asquerosos y superficiales.
• Cada clase debe sacar ejemplos de los anteriores y * obligar a los estudiantes a decidir cómo aplicar los conocimientos de los cursos anteriores en el curso que están estudiando * (¡muy importante!)
• Mucha práctica, y todos los ejercicios no solo deben estar escritos en papel, sino que los estudiantes deben explicarlos al maestro o su asistente para lograr una mejor comprensión, permitir otros tipos de memorización y exponer las fallas en el razonamiento.
• Use mucho material ilustrativo. Las diapositivas son en su mayoría inútiles, pero las infografías y los videos son MUY útiles cuando se hacen correctamente. Compruebe, por ejemplo, este canal de YouTube:

Nada es mejor para dar una buena intuición sobre el significado de una noción matemática que una buena animación.

• Muy pocas personas pueden memorizar muchas cosas abstractas y luego deducir todo de ellas cuando se les pide que las apliquen en la práctica. Por lo tanto, necesitamos proporcionar ejemplos. En mi opinión, algunos patrones de explicación agradables son:

1. Deductivo e inductivo: comience con definiciones, muestre ejemplos, explique cómo exactamente cada ejemplo se sigue de la definición
2. Inductivo y deductivo: Comience de manera informal, dé intuición, proporcione ejemplos, luego dé una definición formal precisa, muestre cómo se generalizan exactamente los ejemplos dados a estas definiciones. Luego dé más ejemplos, pero deríbalos de definiciones formales.

Answer 2

No soy matemático, pero tengo una licenciatura en matemáticas del MIT y un doctorado en ciencias de la computación.

En retrospectiva, hay dos cosas que descubrí que faltaban en mis estudios de matemáticas de pregrado:

• Un sentido de las conexiones entre diferentes partes de las matemáticas. El curso de topología hizo topología sin referirse a los problemas de análisis que originalmente lo habían inspirado. El curso de álgebra finalmente llegó a la teoría de Galois, pero se presentó como consecuencia del álgebra, no como una inspiración. El curso de lógica discutió los ultrafiltros sin conectarse a otras áreas. Etc. Ojalá hubiera habido algún tipo de seminario o curso de encuesta que conectara estas cosas.
• Una comprensión de dónde provienen todas las definiciones en primer lugar. ¿Por qué un espacio topológico es un cierto conjunto de conjuntos con ciertas propiedades? ¿Por qué utilizar una propiedad de subcubierta finita para definir un conjunto compacto? Estas cosas se explican principalmente por los ejemplos y contraejemplos dados después de la prueba de un teorema clave.

Algunos años después de obtener mi licenciatura, me encontré con un libro increíble que me ayudó a comprender el formato de definición-lema-teorema-prueba-ejemplos-contraejemplos. Se trata de pruebas y refutaciones de Imre Lakatos, una exposición brillante (y aparentemente simple) de la historia natural de las matemáticas. Recomiendo que cualquiera que enseñe o aprenda matemáticas universitarias lo lea.

Otro clásico que recomendaría es Cómo resolverlo de George Pólya . Un libro excelente más reciente es Cómo demostrarlo de Daniel Velleman .

Answer 3

Rigurosamente, como lo hacen en Italia, Rusia y Francia.

Debe comenzar a no asumir nada de los estudiantes y construir todo con cuidado. Necesita tener muchas horas de contacto. En Reino Unido son alrededor de 19 por semana, en Europa central son más de 35 por semana.

Más horas de contacto significa ser capaz de tomar las cosas con calma, mostrar pruebas cuidadosamente y explicar tanto la teoría, la intuición y la práctica. Como regla general, cuando se imparte un curso durante un semestre, debería poder hacerlo en su totalidad (e incluso un poco más) que un libro completo de tamaño mediano sobre el tema. Por ejemplo, para un curso de semestre de Cálculo / Análisis (que en Europa central se llama Análisis), debe poder terminar cualquier libro de pregrado escrito sobre cálculo de variable única y análisis real.

Una teoría rigurosa es esencial. Pero recuerda, ¡debe ser divertido! Por lo tanto, el profesor realmente necesita pensar profundamente sobre qué ejercicios realizar. No des los mismos ejercicios que todos en el mundo. Hazlos, inventalos, hazlos originales. Y, sobre todo, deben ser desafiantes.

Idealmente, desea tener un segundo libro que contenga solo ejercicios y sus soluciones. Esto es algo que los cursos de Estados Unidos / Reino Unido pierden mucho. Los únicos pocos libros que pude encontrar son los Contornos de Shaum, que contienen problemas de nivel High Shool a lo sumo y están lejos de ser originales o desafiantes.

Centrándose nuevamente en los ejercicios, deberían ser tales que, si estudiara y supiera perfectamente lo que se hizo en las clases, y si tuviera un resumen de las notas de la clase en frente de usted, aún deberían ser difíciles, y usted debería Casi no tengo ni idea de caliente para resolverlos. Esto le permitirá aplicar los conceptos de manera creativa y desarrollar la intuición y realmente apreciar las matemáticas.

Además, necesitas cubrir mucho. Personalmente trabajo y estudio con muchas personas que han estudiado en los Estados Unidos, el Reino Unido o China, y en 3 a 4 años de licenciatura apenas han estudiado el primer año y medio en Francia, Rusia o Italia. Esto los hace ignorantes y durante su maestría luchan mucho porque no tienen las herramientas, el conocimiento y las habilidades para abordar problemas importantes.

Al final de su licenciatura, debe ser competente en todos los fundamentos, no solo en alguien que sabe una o dos cosas.

Considere, por ejemplo, que en el último año de Bachillerato, se les debe permitir a los estudiantes tener sus computadoras, teléfonos, notas y libros delante de ellos durante el examen. Ahí es cuando sabes que están listos. Los ejercicios deben estar lejos de ser solucionables incluso con todos esos recursos disponibles. No deberían ser ejercicios cuya solución puedas encontrar en stackexchange. No deberían ser aplicaciones directas de las notas de clase. Deben ser problemas complejos, del mundo real, que necesitan demostrar cuán bueno o malo eres haciendo matemáticas.

Answer 4

El mejor método que he visto en la universidad se llama Método modificado de Moore. Método de Moore – Wikipedia

Esencialmente tienes un grupo de estudiantes y quieres enseñarles un tema desde cero. Comienza proporcionándoles un conjunto de definiciones y luego teoremas básicos para probar a partir de esas definiciones con la expectativa de que no utilizarán recursos externos.

Esto obliga a los estudiantes a sentarse y pensar profundamente sobre el tema. En verdad, así es como realmente se aprenden todas las matemáticas. Puede ir a clase y escuchar la conferencia de un profesor y ver sus pruebas, pero la observación solo puede llegar tan lejos. Después de todo, si mirar significaba hacer, todos seríamos atletas olímpicos. Al final del día, tienes que ensuciarte las manos.

Después de que sus alumnos hayan demostrado los teoremas, puede volver a reunirse y discutir las pruebas. En algunos casos, tendrá pruebas incompletas o mal hechas. El propósito de esta reunión es pulir las pruebas.

Luego, proporciona a los estudiantes un nuevo conjunto de definiciones y un nuevo conjunto de teoremas. Enjuague y repita.

Answer 5

Me sorprende que nadie haya dicho esto, pero creo que las matemáticas deben hacerse en la pizarra, en lugar de presentarse en diapositivas.

Cuando era un estudiante universitario en Warwick, la mayoría de mis cursos de matemáticas se realizaron utilizando el método de tiza y conversación, donde un profesor explicaba lo que estamos haciendo, da definiciones y bosqueja una prueba en la pizarra.

El simple acto de esbozar esta prueba significaba que podíamos seguir sus pasos (ver), ver dónde estaba la idea clave y permitirnos pensar / replicarla para otras situaciones similares (o no tan similares).

En mi tercer año, algunos profesores comenzaron a usar diapositivas junto con la pizarra, pero creo que la mayoría de nosotros todavía copiamos palabra por palabra lo que dijo el profesor, en lugar de imprimir las diapositivas.

Actualmente, * parece * que la mayoría de los cursos de matemáticas que he visto recientemente usan diapositivas. La mayoría de los estudiantes que he visto también escuchan en clase / miran una copia de sus diapositivas en su computadora portátil, pero nunca escriben explícitamente lo que dice el profesor, o a lo sumo escriben derivaciones donde las diapositivas no están claras.

De hecho, cuando enseño (y soy más fanático de escribir en la pizarra en lugar de las diapositivas), en realidad tengo algunos estudiantes que toman una foto del “trabajo final” en la pizarra. Todo el tiempo dedicado a explicar el proceso, ignorado. Solo se toma el resultado final. Y no puedo culpar a estos estudiantes, porque están demasiado acostumbrados a las diapositivas; De la misma manera, cuando era estudiante y un profesor comenzó a usar diapositivas, escribí cosas en lugar de confiar en los “resultados finales” porque estaba demasiado acostumbrado a copiar cosas de la pizarra.

Además, para las clases donde me veo obligado a usar diapositivas, creo que estoy perjudicando a los estudiantes más débiles, porque la improvisación siempre tiene lugar.

Si hay conceptos que creo que necesitan más tiempo / más ejemplos, simplemente puedo improvisar en el acto y dibujar algo en la pizarra. Con toboganes? Existe el pensamiento de que: “Si no está en las diapositivas, no es importante”.

Un ejemplo anecdótico. Este año, estoy enseñando dos clases concurrentes: una clase en la que tengo que usar diapositivas y otra clase (dibujé la pajita) que estaba compuesta por estudiantes que fallaron gravemente en el último año / esta es su última oportunidad antes de que tengan salir de la universidad.

Históricamente (por lo que entiendo), la última clase de estudiantes siempre se comportaría mal aunque sea la segunda vez.

Utilizo la pizarra para la última clase, y claramente enfaticé a los estudiantes que no se proporcionarían diapositivas. Las tareas que establezco son más difíciles. Los exámenes que establezco prueban más conceptos que cálculos. A esta última clase de estudiantes que fallaron gravemente en el año anterior les está yendo sorprendentemente bien en esta clase, y en promedio les está yendo mucho mejor que a los estudiantes en la clase donde tengo que usar diapositivas. Espero que sigan así hasta el final del semestre.

Por supuesto, no necesariamente tiene que ser debido al uso de la pizarra, también podría haber otros factores, pero me gusta pensar que enseñar matemáticas usando la pizarra contribuye en parte a su éxito.

Answer 6

Bueno. Usted mencionó la palabra “ideal”, así que voy a responder con lo que es una opinión subjetiva basada en la experiencia personal y probablemente poco realista. También:

Descargo de responsabilidad: no soy un matemático profesional ya que solo soy un estudiante de tercer año en la universidad que estudia Matemáticas, así que toma lo que digo con un poco de sal. También estoy empezando a escribir esto en el móvil a la 1:18 AM después de pensar en esta pregunta prácticamente todo el día. Entonces aquí va:

1. La estructura para cursos de matemática de nivel inferior / medio.

1. Si fuera realmente factible, yo diría que las matemáticas de la universidad deberían enseñarse todos los días de la semana en clases de 1.5 a 2 horas de duración, donde la primera hora de clase se usa para repasar el material y la última parte de la clase se gasta haciendo más ejemplos y / o revisando material de conferencias anteriores. Esta sería la estructura del MWF. Los martes y jueves, nuevamente, durante una hora y media, hay un “laboratorio” que está diseñado como un día de tarea. Es aquí donde los estudiantes tendrían una oportunidad en clase de hacer su tarea con el profesor presente y disponible para recibir ayuda cuando sea necesario.

1. Depende en gran medida de la clase específica y las necesidades de los estudiantes en la clase, pero creo que, en general, este modelo funcionaría bien, ya que sería un enfoque más lento pero más completo e involucrado para aprender matemáticas. Los estudiantes tendrían más oportunidades para aprender el material, hacer toneladas de ejemplos y tener tiempo para repasar conceptos y tener acceso al profesor.

No habría exámenes, solo una tarea y calificación de participación. Este modelo o la calificación del estudiante se basarían en la tarea y la participación, así como en un período parcial y final acumulativo. Si bien es cierto que no soy un profesor / profesor que reconozco como estudiante, por supuesto, sería bueno no tener ningún examen, así que no quiero decir esto solo porque no me gustan los exámenes, digo Esto se debe a que de esta manera los estudiantes podrían obtener las definiciones y conceptos básicos en la primera mitad de la clase, así como ver algunos ejemplos fáciles, pero luego, en la última mitad de la clase, revisarían algunos problemas de nivel medio para solidificar lo que aprendieron en clase. Luego, los martes y jueves se les asignan algunos problemas difíciles / desafiantes para que al final se les dé una calificación de tarea. Además, durante el fin de semana, los estudiantes tendrían una tarea para trabajar que tiene problemas de tarea difíciles que se completarán al comienzo de la próxima clase. Depende de la discreción del profesor si se permite o no trabajar en grupos. Me gustaría que se permitieran grupos pequeños, pero tal vez no todo el tiempo. De esta manera, el profesor puede rastrear quién sabe qué pero permite el intercambio de ideas entre los compañeros de clase. Las matemáticas pueden ser bastante interactivas y creo que la gente olvida esto, por lo que sería bueno tener a los estudiantes expuestos a esto. Cuando terminen, pueden entregar lo que tienen y partir. A través de este modelo, los estudiantes tendrían más tiempo para comprender los conceptos y obtener una comprensión más profunda e intuitiva pero rigurosa de lo que están haciendo, así que cuando llegue el momento del examen (si es parte de la clase) pueden manejar los problemas más difíciles ya que los han visto antes pero han estado expuestos a las grandes ideas de antemano.

No habría absolutamente ninguna diapositiva de PowerPoint o el uso de una computadora a menos que sea absolutamente necesario. Sí, las imágenes pueden ser absolutamente útiles en matemáticas, pero estoy firmemente en contra de que las diapositivas de PowerPoint enseñen las matemáticas. Está bien usar una computadora para obtener una buena imagen visual o si la está usando en una clase de Prob / stats, pero para una clase como College Algebra o Linear Algebra, creo que los estudiantes pueden hacerlo sin tomar notas de las diapositivas . Además, asegúrese de que el uso de calculadoras esté prohibido en las pruebas (si le da a sus estudiantes pruebas) para que realmente tengan que conocer los conceptos.

El método socrático es genial. Esto es lo que uso cuando estoy dando clases particulares a los estudiantes. Incluso cuando un estudiante tiene dificultades, puede ver cuál es su lógica y ayudar a guiarlo hacia la solución correcta. Incluso cuando se atascan, tienen la oportunidad de obtener ayuda del profesor y ver dónde se equivocaron o cómo proceder con el problema.

¡Haz que la clase sea divertida! Los estudiantes aprenden mejor (lo sé) cuando el maestro es divertido y participa con el material, así como cuando los estudiantes lo hacen. Esto promueve que los estudiantes estén ansiosos y entusiasmados por aprender y les ayuda a mantener una mente abierta y activa. La competencia ocasional por resolver problemas es una excelente manera de hacerlo, lo que proporciona muchos beneficios. El maestro puede hacer un seguimiento de cómo está cada uno de los estudiantes, los estudiantes pueden recibir un crédito adicional, refuerza el material enseñado y hace que los estudiantes quieran venir a clase.

Los cursos de matemática de nivel superior / graduado

1. Muy bien, por ahora los estudiantes que toman estas clases son estudiantes serios que quieren estar en estas clases de alto nivel. Para estos, realmente me gusta el “Método Moore modificado” que mencionó Jacob Wigfield. Creo que esto funcionaría muy bien con la estructura de la clase que describí anteriormente. Estaba pensando en un modelo similar en realidad, pero creo que el suyo es mejor tanto estructuralmente como en la descripción.

Escala de calificación

1. Esta es la escala de calificaciones para mi clase de combinatoria en la que estoy ahora y realmente me encanta:

1. El punto de referencia para un A- es un 80%; el porcentaje base de un B- es un 60%; un C- es un 40%; un D- es un 20%; y todo lo que está debajo es una F. La razón por la que mi profesor hace esto es porque, por lo que ha visto en su carrera de enseñar, lo que separa a alguien con la comprensión de un 90% (el A- típico) y un 89% (un B + sólido estándar) es bastante trivial normalmente y, en consecuencia, realmente puede afectar su GPA injustamente. Especialmente en el nivel inferior cuando es mucho trabajo computacional y olvida accidentalmente un signo negativo y arruina seriamente tu problema (¡te estoy mirando Álgebra lineal!). Entonces, con esta escala de calificación ajustada, es más representativo de quién sabe qué.
2. Esto aún permitiría a un profesor distinguir a los mejores estudiantes de la clase y, en mi opinión, podría ayudar a proporcionar una mejor carta de recomendación.

Creo que esto lo cubre. Aproveché mi experiencia personal y mi experiencia en tutoría para dar una respuesta a esta pregunta. Me encantaría escuchar los comentarios de otras personas que respondieron, así como otros matemáticos (especialmente profesores de matemáticas).

¡Salud!

PD: Podría editar esto en el futuro ya que estoy escribiendo esto en mi iPhone a las 2:14 AM EST. ¡Buenas noches Buenos días!

Answer 7

Soy un poco escéptico de algunos de los métodos sofisticados. Mirando el método de Moore hay una línea clave

Moore comenzaría su curso de posgrado en topología …

Por lo tanto, es un método excelente si tiene estudiantes avanzados, pero podría no ser tan apropiado para los estudiantes de primer año. También sospecho que es mejor para temas más fundamentales. Recuerdo cuando me enseñaron topología, que comenzó desde cero pero no utilizaba el método Moore. Me concentré en las complejidades de los conjuntos cerrados y abiertos y me perdí el tema más grandioso como los grupos de homotopía.

Si solo empezara a enseñar en la universidad, no haría nada lujoso durante el primer año. Solo enseña un curso estándar de pantano. Aprenda los conceptos básicos para comprender cómo reaccionan los alumnos al material, cómo funciona la evaluación y, lo más importante, midiendo el nivel y la capacidad de los alumnos. Es muy fácil asumir demasiado de los estudiantes. Debido a que conoce el material íntimamente, es fácil olvidar cuánto ha absorbido e ir demasiado rápido dejando atrás a los estudiantes. Me he caído varias veces siendo demasiado aventurero. Así que aprende las cuerdas primero y luego innova.

Answer 8

En primer lugar, todo depende de a quién enseñes: sus antecedentes, su aptitud, su motivación, si padecen TDAH (por el contrario, si tienen sitzfleisch ).

En ese contexto, la forma normal de enseñar matemáticamente rigurosamente es definición, lemas, teorema. Eso generalmente carece de motivaciones, ya sea definiciones o teoremas.

La mayoría de los teoremas surgen de las preguntas. Pero, las preguntas rara vez se enseñan. Muchos ejemplos provienen de la física, pero hay muchos más de combinatoria, programación y más matemáticas elementales, etc.

Entonces, diría que la instrucción matemática rigurosa debe incluir qué pregunta quiere ser respondida, tal vez quién quiso responderla originalmente, una idea intuitiva de cómo funciona, cómo encontrar buenas definiciones (!!!), y finalmente como probarlo Y entre eso, aplicaciones! Y aplicaciones no solo a las matemáticas. Las matemáticas no son estériles; Es un todo orgánico, que impregna todo lo que no sea la religión.

Muchas pruebas requieren un “truco”. Es fácil descartar el truco como una forma de obtener una prueba, pero eso es INCORRECTO. En realidad, el truco es realmente el meollo de la prueba; La existencia del truco es realmente la razón principal por la que funciona la prueba, y es la verdad interna del teorema.

Answer 9

Las matemáticas no son ni deberían ser sobre memorización.

¡Incluso cuando se trata de las numerosas fórmulas trigeométricas! No deberían ser memorizados sino entendidos.

A pesar de mi fuerte memoria, uno de mis momentos menos favoritos en las clases de matemáticas es cuando el profesor escribe las fórmulas como si fuera un código en lugar del campo del pensamiento racional y lógico. Ahí es cuando la mentalidad mental se desvanece …

Intergral de sec (u) du = ln | sec (u) + tan (u) | + c

¿Pero por qué?

Escribir esto sin esfuerzo en la pizarra matará los sueños de muchos estudiantes universitarios que querían pasar sus vidas haciendo matemáticas, pero que ahora ven el tema como un libro de historia en números y funciones trigeométricas en lugar de fechas y palabras … y tal vez cambien en el otro semestre.

¿Sabes lo que es hermoso?

Profesor: “Clase, aquí están los detalles, ahora encuentra el intergal por tu cuenta” (Tal vez para una asignación opcional o un bono para que no te lleve mucho tiempo)

Después de algunas pruebas y presunciones, la fórmula tendrá más sentido que nunca.

Las derivaciones son el polvo de duendes para las matemáticas, ¿no?

Answer 10

Cuando estaba en la universidad, muchos de mis compañeros se quejaban de la forma en que los profesores les enseñaban. Querían que sus profesores hicieran el trabajo por ellos y les pusieran las matemáticas en la cabeza. No querían aprender nada. Ellos querían ser enseñados.

No existe la forma ideal de enseñar. La enseñanza puede tener diferentes formas, cada una con su propia calidad. PERO las dificultades permanecen. Las matemáticas, y nada más, no se pueden enseñar idealmente y sin mantener las mentes de los estudiantes ocupadas por un tiempo. Cualquiera que quiera aprender algo debe poner esfuerzo y energía.

En lugar de preguntar sobre la forma ideal de enseñar, uno debería preguntar sobre la forma ideal de aprendizaje.

Answer 11

Tengo una licenciatura en matemáticas. Y he sido tutor de matemáticas durante años.

Primero enseñas para entender. Explica por qué vale la pena resolver el problema o por qué la técnica es una herramienta útil en el mundo de las matemáticas.

¡Entonces da ejemplos! Muchos de ellos. Y espere que resuelvan problemas similares por su cuenta. Pero permítales referirse a sus notas, luego no permita notas en la prueba.

Answer 12

Comience las matemáticas con una versión menos rigurosa de topología, teoría de conjuntos y análisis real, tal vez un curso de 5 créditos llamado fundamentos de las matemáticas. Podrá enseñar cálculo, ecuaciones diferenciales, probabilidad, álgebra lineal y cursos de estadística con los fundamentos y explicaciones adecuados, en lugar de que los estudiantes lo tomen por fe o lo memoricen en los primeros cursos. Esto también ayudará a los potenciales estudiantes de matemática a darse cuenta si les gusta el tipo de matemática que hacemos como matemáticos lo suficiente como para continuar en el campo; aquellos que optan por no participar pueden seguir otros programas de grado de matemáticas pesadas o permanecer en la especialidad sin planes para una escuela de posgrado en el campo, ya que las matemáticas son una especialidad útil para la mayoría de las carreras.

Answer 13

Como estudiante de Matemáticas, diría que la forma ideal de enseñar Matemáticas, especialmente a nivel universitario, es dar toneladas de ejemplos.

Ejemplos, ejemplos y más ejemplos son cómo aprendo. Me imagino que incluso en un nivel superior de Matemáticas sería lo mismo.

Un niño matemático,

Sígueme para más respuestas,

Nathan W.

Answer 14

Estoy estudiando matemáticas en la Universidad y dirijo sesiones de aprendizaje asistido por pares, ayudando a estudiantes universitarios más jóvenes a aprender también matemáticas. Considero que la forma óptima de enseñar Matemáticas es subrayar muy claramente el contenido (pruebas y teoremas) y dar indicaciones directas a una gran cantidad de ejercicios que son pertinentes al contenido. Muchos estudiantes me han brindado estos comentarios y me involucré en este, así como en otro proyecto destinado a ayudar a los estudiantes de Matemáticas por la misma razón exacta, que encontramos problemas para entregar estos dos elementos cruciales (contenido y muchos, muchos ejercicios con soluciones completas) )