Varias personas han mencionado que solo puedes mirar los dos últimos dígitos. ¿Por qué es este el caso?
Considere el número [math] ab44 [/ math], donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son dígitos arbitrarios. Podemos descomponer este número en
[matemáticas] ab44 = ab00 + 44 [/ matemáticas]
Como [math] ab00 [/ math] termina en dos ceros, podemos factorizarlo en:
- ¿Cuántas soluciones enteras positivas (a, b) hay en la ecuación a ^ 2 + b ^ 2 + (a + b) ^ 2 = b ^ 3 donde 0 <b <2017?
- ¿Cuál es el resto cuando 2017 ^ 2017 se divide por 2015?
- Deje que [matemáticas] x [/ matemáticas], y [matemáticas] y [/ matemáticas], y [matemáticas] z [/ matemáticas] sean números reales que satisfagan [matemáticas] \ frac {x} {y + z} + \ frac { y} {z + x} + \ frac {z} {x + y} = 1 [/ math] ¿Cuál es el valor mínimo de [math] \ frac {x ^ 2} {y + z} + \ frac {y ^ 2} {z + x} + \ frac {z ^ 2} {x + y}? [/ Matemáticas]
- Dado un número entero [math] n [/ math] que es mayor que [math] 1 [/ math], ¿qué es [math] \ gcd (2 ^ n – 1, 3 ^ n – 1, \ ldots, n ^ n – 1) [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son los primos p para los cuales p + 3 es un cuadrado perfecto?
[matemáticas] ab00 = 100 \ veces ab [/ matemáticas]
Ahora estamos en buena forma, porque 100 es divisible por 4. Combinemos
[matemáticas] ab00 = 100 \ veces ab = 4 \ veces 25 \ veces ab [/ matemáticas]
con
[matemáticas] 44 = 4 \ veces 11 [/ matemáticas]
Vemos eso
[matemáticas] ab44 = ab00 + 44 = 4 \ veces (25 \ veces ab) + 4 \ veces 11 [/ matemáticas]
Si hay algo que debes aprender en las matemáticas de la escuela primaria, es la propiedad distributiva . Si tengo 4 cajas, cada una con 25 [math] ab [/ math] ‘s, y 4 cajas un poco más pequeñas, cada una con 11, puedo tirar cada caja de 11 en una caja correspondiente de [math] 25 \ times ab [/ math], y ahora en cada una de estas 4 cajas un poco más grandes, hay [math] 25 \ times ab + 11 [/ math]
[matemáticas] ab44 = 4 \ veces (25 \ veces ab) + 4 \ veces 11 = 4 \ veces (25 \ veces ab + 11) [/ matemáticas]
Hemos expresado [math] ab44 [/ math] como un producto de 4 y otro número entero, por lo que [math] ab44 [/ math] es un múltiplo de 4. Puede ver cómo se puede hacer el mismo argumento para otros números terminando con un múltiplo de 4 en los últimos dos dígitos.
El mismo atajo funciona para otras potencias de 2. Puede ver si un número es par mirando solo 1 dígito, verifique si es divisible entre 8 mirando sus últimos 3 dígitos, y así sucesivamente.
En general, un número [matemático] n [/ matemático] es divisible por [matemático] 2 ^ k [/ matemático] si y solo si los últimos dígitos [matemático] k [/ matemático] de [matemático] n [/ matemático] son divisibles por [matemáticas] 2 ^ k [/ matemáticas]. Esto se debe a que el resto del número, [matemática] n-2 ^ k [/ matemática], ahora tiene [matemática] k [/ matemática] ceros al final; por lo tanto, es divisible por [matemáticas] 10 ^ k [/ matemáticas], y [matemáticas] 10 ^ k [/ matemáticas] es a su vez divisible por [matemáticas] 2 ^ k [/ matemáticas].