Queremos el resto cuando [math] 3 ^ {45} +45! [/ Math] se divide por [math] 47. [/ Math]
[math] 47 [/ math] es un número primo [math] \ qquad \ Rightarrow \ qquad [/ math] El número total de Euler de [math] 47 [/ math] es [math] 46 [/ math].
[math] \ Rightarrow \ qquad 3 ^ {46} \ equiv 1 \ pmod {47}. [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ qquad 3 ^ {45} \ veces 3 \ equiv 1 \ pmod {47}. [/ matemática]
- ¿Cuál es la definición más ampliamente aceptada (a partir de 2017) de la relación ‘divide’ en la teoría de números, y por qué es así?
- Si (19 ^ 15 – 15 ^ 19) se divide por 17, ¿cuál es el resto?
- ¿Cuáles son los elementos del conjunto [math] \ left \ {5a + 2b: a, b \ in \ mathbb {Z} \ right \} [/ math]?
- ¿Cuál es el número de soluciones enteras positivas de la ecuación [x / 99] = [x / 101]?
- Si x, y, y N son todos enteros positivos, y 7x + 11y = N, ¿cuál es el mayor valor de N que hace esto imposible?
[matemáticas] 16 \ veces 3 \ equiv 1 \ pmod {47}. [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad 3 ^ {45} \ equiv 16 \ pmod {47}. [/ math]
Sabemos, por el Teorema de Wilson, que [matemáticas] 46! \ equiv -1 \ pmod {47}. [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 45! \ times 46 \ equiv -1 \ pmod {47} \ equiv 46 \ pmod {47}. [/ math]
[matemáticas] 1 \ por 46 \ equiv 46 \ pmod {47}. [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 45! \ equiv 1 \ pmod {47}. [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 3 ^ {45} +45! \ equiv (16 + 1) \ pmod {47} \ equiv 17 \ pmod {47}. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] El resto cuando [math] 3 ^ {45} +45! [/ math] se divide por [math] 47 [/ math] es [math] 17. [/ math]