¿Cuántas soluciones tiene 51x = 34 mod 646? Dos soluciones son iguales si son congruentes con el módulo 646.

Answer 1

Teorema. La congruencia lineal [math] ax \ equiv b \ pmod {m} [/ math] es solucionable si y solo si [math] \ gcd (a, m) \ mid b [/ math], y hay [math] \ gcd (a, m) [/ math] soluciones cuando [math] \ gcd (a, m) \ mid b [/ math].

Como [math] 51 = 3 \ cdot 17 [/ math] y [math] 646 = 38 \ cdot 17 [/ math], existen soluciones [math] 17 [/ math] para la congruencia [math] 51x \ equiv 34 \ pmod {646} [/ matemáticas].

Para determinar estas soluciones, tenga en cuenta que [math] 51x \ equiv 34 \ pmod {646} [/ math] implica [math] 3x \ equiv 2 \ pmod {38} [/ math]. Desde [matemáticas] 13 \ cdot 3 \ equiv 1 \ pmod {38} [/ matemáticas], [matemáticas] x \ equiv 26 \ pmod {38} [/ matemáticas].

Por lo tanto, todas las soluciones a [matemáticas] 51x \ equiv 34 \ pmod {646} [/ matemáticas] satisfacen [matemáticas] x \ equiv 26 \ pmod {38} [/ matemáticas], y también tienen la forma [matemáticas] x = 38k +26 [/ matemáticas]. Como [math] 646 = 17 \ cdot 38 [/ math], las soluciones incongruentes mod [math] 646 [/ math] están dadas por [math] \ {38k + 26: 0 \ le k \ le 16 \} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]