¿Cuántas soluciones enteras existen para [matemáticas] (x + y + z) * x * y * z = xyz [/ matemáticas]? (x, y, z pueden ser el mismo número)

Answer 1

Defina [matemáticas] A = xyz [/ matemáticas], [matemáticas] B = x + y + z [/ matemáticas]. Entonces la ecuación se convierte en: [matemáticas] BA = A [/ matemáticas]. Ese se resuelve fácilmente: [matemáticas] A = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] B = 1 [/ matemáticas]. Para obtener [matemática] A = 0 [/ matemática], cualquiera de [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] o [matemática] z [/ matemática] debe ser 0. [matemática] B = 1 [/ matemática] significa que [matemática] x + y + z = 1 [/ matemática]. Así tenemos las siguientes infinitas soluciones:

• [matemática] x = 0 [/ matemática], cualquier valor para [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática]
• [matemática] y = 0 [/ matemática], cualquier valor para [matemática] x [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática]
• [matemática] z = 0 [/ matemática], cualquier valor para [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]
• Cualquier valor para [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], [matemática] z = 1-xy [/ matemática]

Answer 2

Estoy de acuerdo con todos los que afirman que x + y + z = 1 es infinitamente posible ya que x, y, z pueden ser de signo diferente. Por lo tanto, cualquier número distinto de cero limitado es bueno para este caso.

En cuanto a mí, es interesante donde se pueden encontrar trillizos con (uno o dos pero no los 3) valores cero. Desde el primer vistazo, en todas partes. Y no lo creo. Respondamos a la pregunta: ¿Puede el único de x, y, z tiene un valor cero y otros tienen valores distintos de cero al mismo tiempo? Voy a tratar de demostrar que puede ser pero con alguna limitación en otras dos variables (distintas de cero). Así que sea x = 0 y tanto y como z no lo son

vamos a calcular el límite de la parte izquierda (x + y + z) xyz:

[matemáticas] lim _ {x-> 0} ((x + y + z) \ cdot x \ cdot y \ cdot z)) = (y + z) \ cdot y \ cdot z \ cdot lim _ {x-> 0} (x) [/ matemáticas]

y el lim de la parte derecha xyz da:

[matemáticas] y \ cdot z \ cdot lim _ {x-> 0} (x) [/ matemáticas]

en cada pont donde x no es cero (sin embargo, puede estar cerca) podemos reducir en

[matemáticas] lim _ {x-> 0} (x) [/ matemáticas]

entonces significa que debe ser cierto:

(y + z) yz = yz

y puede ser solo cuando si y y z son cero, y contradice la condición previa donde consideramos que y y z no son cero o cuando y + z = 1 (!). (Se pueden hacer argumentos similares para un par de valores cero).

Hay un punto débil en esa prueba donde dividimos en х = 0

Pero tengamos una función u (x) = x

entonces necesitamos obtener:

[matemáticas] \ frac {lim _ {x-> 0} (u (x))} {lim _ {x-> 0} (u (x))} [/ matemáticas]

y ahora podemos aplicar la regla de L’Hospital y considerando u ‘(x) = х’ (x) = 1 obtenemos 1.

Eso es divertido, creo. 🙂

Answer 3

¿Es xyz un número de tres dígitos como x * 100 + 10 * y + z?

#include

int main () {
int x, y, z;
para (x = -9; x <= 9; x ++)
para (y = -9; y <= 9; y ++)
para (z = -9; z <= 9; z ++)
if (((x + y + z) * x * y * z) == (100 * x + 10 * y + z)) printf (“% d,% d,% d \ n”, x, y, z);
}
/ * resultados:

-1, 1, 9
0, 0, 0
1, -7, 5
1, 3, 5
1, 4, 4
* /

Answer 4

¿Cuántas soluciones enteras existen para [matemáticas] (x + y + z) ∗ x ∗ y ∗ z = xyz [/ matemáticas] ? (x, y, z pueden ser el mismo número)

Resta [math] xyz [/ math] de ambos lados y factorízalo como

[matemática] \ qquad xyz (x + y + z-1) = 0 [/ matemática]

Ahora, está claro que si alguno de estos cuatro factores es cero, la ecuación es verdadera, entonces

[matemáticas] \ qquad \ begin {align} & x = 0 \\ & y = 0 \\ & z = 0 \\ & x + y + z = 1 \ end {align} [/ math]

Son las soluciones. Hay un número infinito de combinaciones de [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] que resuelven la ecuación.

Answer 5

Fácil

Podemos escribir xyz como 1 * x * y * z

(x + y + z) * x * y * z = (1) * x * y * z

Ahora el problema se simplifica a

x + y + z = 1

Entonces, hay una solución ilimitada, solo la suma de esos números tiene que ser 1.

O si uno de x, y o z fuera 0, la ecuación aún se resolvería.

Answer 6

A2A, gracias.

Infinitamente muchas soluciones.

Si uno o más de estos enteros es 0, entonces también lo es el producto [math] xyz [/ math], de modo que el triple de enteros es una solución. Eso ya nos da infinitas soluciones.

Si [math] xyz \ neq 0 [/ math], entonces divida el producto xyz en la ecuación. La ecuación resultante es

[matemáticas] x + y + z = 1 [/ matemáticas],

que se ve fácilmente que tiene infinitas soluciones; p.ej,

[matemáticas] x = -7, y = 4, z = 2 [/ matemáticas].

Answer 7

Existen soluciones de un entero porque

x + y + z = 100 / (y * z) + 10 / (x * z) + 1 / (x * y)

Esto significa que:

1. y * z debe ser un factor de 100 y, por lo tanto, debe ser 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 o 100.
2. x * z debe ser un factor de 10 y, por lo tanto, debe ser 1, 2, 5 o 10.
3. x * y debe ser un factor de 1 y, por lo tanto, debe ser 1.

Si x e y deben ser 1, entonces z debe ser 5, 2 o 1.

Pero, 115 es un número demasiado grande para (x + y + z) * x * y * z porque

(1 + 1 + 5) * 1 * 1 * 5 = 7 * 5 = 35

Usar 2 o 1 para z solo empeorará el asunto.

Hay una solución entera.

Eso es cero para los tres.

Cero para solo uno o dos de los tres lleva el valor completo a cero en el lado izquierdo de la ecuación e invalida los marcadores de posición distintos de cero en el número en el lado derecho de la ecuación.

x = 0, y = 0, z = 0

Answer 8

Hay un número infinito de soluciones enteras. Aquí tenemos que x * y * z = 0, que nos da 8 posibilidades, o que (x + y + z) = 1, que tiene un número infinito de soluciones enteras.