La teoría de números algebraicos tiene que ver con campos numéricos, extensiones algebraicas de números racionales. Clasificamos los campos numéricos de diferentes maneras, ya sea el Discriminante, el grupo de clase Ideal o más identificadores elementales como la Firma de campo numérico.
La teoría de números algebraicos también solicita analogías de los enteros en estos campos numéricos. Estos se conocen como el Anillo de los enteros. ¿Por qué nos importa cómo se ven los enteros en un campo diferente? Bueno, si consideramos los números reales, entonces los enteros son una red. ¡De hecho, no cualquier enrejado! Son la red más grande que se cierra bajo multiplicación, también llamada orden. También sucede que los anillos de enteros de los campos numéricos son dominios Dedekind, un tipo de anillo muy muy especial.
Creo que los temas de la teoría de números algebraicos también pueden ser iluminados por su historia. Tenemos la siguiente pregunta. Digamos que tenemos un primo [matemáticas] p [/ matemáticas]. ¿Es esto primo de la forma [matemáticas] p = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]? En términos más generales, ¿es [matemática] p [/ matemática] de la forma [matemática] p = x ^ 2 + ny ^ 2 [/ matemática]? Para la primera pregunta, resulta que la respuesta es sí si y solo si [math] p \ equiv 1 \ mod 4 [/ math].
Tenemos la famosa ecuación de Pell: [matemáticas] x ^ 2 -ny ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Queremos encontrar soluciones enteras para esta ecuación. ¡Resulta que las soluciones se encuentran en el anillo de enteros con una norma de 1!
- ¿Qué se entiende por [matemáticas] \ zeta {(s)} <0 [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ zeta {(s)} [/ matemáticas] es la función Riemann Zeta?
- Dado que [matemática] x = 2a ^ 5 = 3b ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible de [math] b [/ math]?
- Cómo mostrar que el producto de los primeros enteros positivos ‘n’ pares es 2 ^ n * (n!)
- Si n (B) = 4 yn (AUB) = 9, ¿cuáles son los posibles valores de n (A)?
- ¿Cuántas soluciones enteras existen para [matemáticas] (x + y + z) * x * y * z = xyz [/ matemáticas]? (x, y, z pueden ser el mismo número)
El último teorema de Fermat también es una fuente importante de motivación, ya que el matemático Lame consideró la ecuación [matemáticas] x ^ p = z ^ p – y ^ p [/ matemáticas] sobre un campo numérico [matemáticas] Q (\ zeta_p) [/ math], donde [math] \ zeta_p [/ math] es la raíz p-ésima primitiva de la unidad. Intentaba probar la afirmación al considerarlos sobre primos. Luego apareció Kummer y mostró por qué este enfoque no funcionaría mientras se expandía la teoría.