Cómo mostrar que el producto de los primeros enteros positivos ‘n’ pares es 2 ^ n * (n!)

Answer 1

Inducción.

Esta es la forma formal de demostrar lo que otros han mostrado intuitivamente.

Queremos demostrar que [matemáticas] \ Pi_ {m = 1} ^ n (2m) = 2 ^ n (n!) [/ ​​Matemáticas]

Primero miramos un “caso base”: el objetivo es demostrar que esto funciona por algún valor de [math] n [/ math]. [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] parece un buen lugar para comenzar.

El lado izquierdo es solo [matemática] 2 [/ matemática], y el lado derecho es [matemática] 2 ^ 1 (1!) = 2 \ cdot 1 = 2 [/ matemática]. Entonces, para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] \ Pi_ {m = 1} ^ n (2m) = 2 ^ n (n!) [/ ​​Matemáticas].

El siguiente paso es asumir que la conjetura se cumple para algún valor [matemática] k [/ matemática], luego ver qué sucede en [matemática] k + 1 [/ matemática]. Por lo tanto, suponemos que [math] \ Pi_ {m = 1} ^ k (2m) = 2 ^ k (k!) [/ ​​Math] para algunos [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math].

Entonces, para [matemáticas] k + 1 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] \ Pi_ {m = 1} ^ {k + 1} (2m) [/ matemáticas].

Podemos expresar eso como [matemática] ([/ matemática] [matemática] \ Pi_ {m = 1} ^ k (2m)) (2 (k + 1)) [/ matemática].

Pero recuerde, asumimos que [math] \ Pi_ {m = 1} ^ k (2m) = 2 ^ k (k!) [/ ​​Math]. Así que lo sustituimos en la expresión anterior para obtener [matemáticas] 2 ^ k (k!) (2 (k + 1)) [/ matemáticas].

Ahora, reordenamos y simplificamos:

[matemáticas] = 2 ^ k (2) (k!) (k + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ k2 ^ 1 (k!) (k + 1) [/ matemáticas].

Luego usa las propiedades de los exponentes y el factorial para obtener [matemáticas] 2 ^ {k + 1} (k + 1)! [/ Matemáticas].

Así que hemos demostrado que si [matemáticas] \ Pi_ {m = 1} ^ k (2m) = 2 ^ k (k!) [/ ​​Matemáticas] entonces [matemáticas] \ Pi_ {m = 1} ^ {k + 1 } (2m) = 2 ^ {k + 1} (k + 1)! [/ Math]. En otras palabras, si la ecuación se cumple para [matemática] k [/ matemática], entonces se cumple para [matemática] k + 1 [/ matemática]. Recuerde, ya hemos demostrado que es válido para [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Entonces:

Se mantiene para [matemáticas] 1 [/ matemáticas], por lo que se mantiene para [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas].

Se mantiene para [matemáticas] 2 [/ matemáticas], por lo que se mantiene para [matemáticas] 2 + 1 = 3 [/ matemáticas].

Se mantiene para [matemáticas] 3 [/ matemáticas], por lo que se mantiene para [matemáticas] 3 + 1 = 4 [/ matemáticas].

Y así.

Por lo tanto, podemos decir que [math] \ Pi_ {m = 1} ^ n (2m) = 2 ^ n (n!) [/ ​​Math] vale para todos los [math] n [/ math] naturales.

QED

Answer 2

A2A

Considere [math] n! = 1 (2) 3 (4) 5 (6) \ cdots (n) [/ math]

que es el producto de los enteros positivos más pequeños [math] n [/ math].

Ahora, hay exactamente [math] n [/ math] enteros en la cadena de arriba. Si multiplicamos cada uno de ellos por [matemáticas] 2 [/ matemáticas], encontraremos el producto

[matemáticas] Ev (n) = 2 (4) 6 (8) \ cdots (2n) [/ matemáticas]

que es el producto de los números enteros positivos más pequeños [matemáticos] n [/ matemáticos].

Pero la multiplicación de enteros es conmutativa, por lo que podemos extraer todos los [math] n [/ math] [math] 2 [/ math] y multiplicarlos primero:

[matemáticas] \ implica Ev (n) = 2 ^ n 1 (2) 3 (4) \ cdots (n) = 2 ^ nn! [/ matemáticas]

---

Bien, esto también nos da una fórmula para el producto de los enteros positivos impares más pequeños [math] n [/ math] en términos del factorial:

[matemáticas] Od (n) = \ frac {(2n-1)!} {Ev (n-1)} = \ frac {(2n-1)!} {2 ^ {n-1} (n-1) !}[/matemáticas]

Answer 3

Gracias por el A2A!

¡Probémoslo por inducción!

Caso base de [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 2 ^ 11! = 2 [/ matemáticas]

Funciona.

Suponga que funciona para algunas [matemáticas] n = k [/ matemáticas]. Probemos que funciona para [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 2 ^ kk! \ cdot 2 (k + 1) = 2 ^ {k + 1} k! \ cdot (k + 1) = 2 ^ {k + 1} (k + 1)! [/ matemáticas]

Dado que [matemáticas] (k + 1) k! = (K + 1)! [/ Matemáticas]

Entonces lo hemos probado.

Answer 4

II

Como la mitad de los términos son pares, dividir cada uno entre 2 podría explicar el poder de 2. Hagámoslo.

[matemática] (2 \ por 1) (2 \ por 2) (2 \ por 3) (2 \ por 4)… (2 \ por n) [/ matemática]

[matemáticas] = 2 ^ n \ veces (1 \ veces 2 \ veces 3 \ veces 4… \ veces n) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ n (n!) [/ ​​matemáticas]

Según sea necesario.

Answer 5

El producto de los primeros enteros pares [math] n [/ math] es [math] 2 × 4 × 6 × 8 ×… .. × 2n [/ math].

Podemos factorizar [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] 2’s [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] 2 ^ n × 1 × 2 × 3 ×… .. × n [/ matemáticas].

Y eso es igual a [matemáticas] 2 ^ n × n!. [/ Matemáticas]

Answer 6

Si vemos 2,4,6,8 …… es una serie

Y por lo tanto, para encontrar el enésimo número entero positivo que tenemos,

Tn = a + (n-1) d

Donde a = 2, d = 2,

Por lo tanto, Tn = 2n.

Ahora:

Deje 2 × 4 × 6 × 8 × 10 × ………. × 2n = R

Divide y multiplica cada término por 2 y luego obtenemos,

R = {[2 × (2 ÷ 2)] × [(2 × (4 ÷ 2)] × …… × [2 × (2n ÷ 2)]}

= (2 × 2 × 2 ×… .n veces) (1 × 2 × 3 × 4 × ……. × n)

{Dado que n! = N × (n-1)! = N × (n-1) (n-2) …… .. (1!) = N (n-1) (n-2) …… .. × 4 × 3 × 2 × 1}

Por lo tanto,

R = 2 ^ n (n!)

Answer 7

Yo usaría la inducción:

Caso base [matemática] n = 1 [/ matemática], el primer entero par positivo es [matemática] 2 [/ matemática] y el producto de un solo número es solo así que tenemos [matemática] 2 ^ 1 × (1 !) = 2 [/ math] una declaración verdadera. Así que supongamos que el producto de la primera [matemática] n [/ matemática] realmente es [matemática] 2 ^ n × (n!) [/ ​​Matemática] ahora veamos [matemática] n + 1 [/ matemática]:

[matemáticas] 2 ^ {n + 1} × ((n + 1)!) = 2 ^ n × 2 × ((n + 1) × n!) = 2 ^ n × 2 × (n + 1) × n ! = 2 ^ n × n! × 2 × (n + 1) [/ matemáticas]

en nuestra suposición [matemática] 2 ^ n × n! [/ matemática] es el producto de los primeros [matemáticos] n [/ matemática] números pares y [matemática] 2 × (n + 1) [/ matemática] es el [ matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] número par. Entonces qed

Answer 8

2 * 4 * 6 *… * (2n-2) * (2n) = 2 *… * 2 * 1 * 2 * 3 *…. * N = 2 ^ n * (n!)

Tienes n números, cada uno es divisible por 2. Presentas cada factor de esta manera 2 = 2 * 1, 4 = 2 * 2, 6 = 3 * 2,… 2n = 2 * n

Tienes 2 n veces y 1 * 2 * 3 * … n

Answer 9

[matemáticas] \ text {LHS} = (2) \ veces (4) \ veces (6) \ veces \ cdots \ veces (2n) [/ matemáticas]

[matemática] = \ underbrace {(2 \ times 1)} _ {= 2} \ times \ underbrace {(2 \ times 2)} _ {= 4} \ times \ underbrace {(2 \ times 3)} _ { = 6} \ times \ cdots \ times \ underbrace {(2 \ times n)} _ {= 2n} [/ math]

[math] = \ underbrace {(2 \ times 2 \ times 2 \ times \ cdots \ times2 \ times 2 \ times 2)} _ {= 2 \ space multiplicado \ space por \ space en sí \ space n \ space times = 2 ^ n} \ times \ underbrace {(1 \ times 2 \ times 3 \ times \ cdots \ times n)} _ {= n!} [/ math]

[matemáticas] = (2 ^ n) \ veces (n!) = \ text {RHS}. [/ matemáticas]

Esto no podría haber sido más intuitivo.