¿Qué se entiende por [matemáticas] \ zeta {(s)} <0 [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ zeta {(s)} [/ matemáticas] es la función Riemann Zeta?

Answer 1

La función Riemann Zeta se denota por:

[matemáticas] \ begin {align *} \ underbrace {\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ s}} _ {\ text {Solo definido para cuando} s \ in \ R> 1} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Cuando [math] \ zeta (s) <0 [/ math], significa que la entrada en la función Zeta será menor que cero.

Por ejemplo:

[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle \ zeta (-1) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ Rightarrow \ dfrac {1} {1 ^ {- 1}} + \ dfrac {1 } {2 ^ {- 1}} + \ dfrac {1} {3 ^ {- 1}} + \ dfrac {1} {4 ^ {- 1}} + \ dfrac {1} {5 ^ {- 1} } + \ dots \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ Rightarrow 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ dots \ text {que diverge a} – \ dfrac {1} {12} \ end {align *} \ tag * {} [/matemáticas]

Además, cuando [math] s [/ math] es un número par negativo, la salida de la función Zeta siempre será cero, lo que se llama un cero trivial.

Por ejemplo:

[matemáticas] \ begin {align *} \ zeta (-2) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ Rightarrow \ dfrac {1} {1 ^ {- 2}} + \ dfrac {1} { 2 ^ {- 2}} + \ dfrac {1} {3 ^ {- 2}} + \ dfrac {1} {4 ^ {- 2}} + \ dfrac {1} {5 ^ {- 2}} + \ dots \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ Rightarrow 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + \ dots \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ Rightarrow 0 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, la función Zeta se puede escribir como:

[matemáticas] \ begin {align *} \ underbrace {\ bbox [#FFA] {\ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ s} = 0} } _ {\ text {Donde s es un número par negativo}} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Gracias por el A2A!

Simplemente significa que [math] \ zeta (s) [/ math] es menor que [math] 0 [/ math]. Por supuesto, esto solo funciona cuando [math] \ zeta (s) \ in \ mathbb {R} [/ math] porque el conjunto de números complejos no está ordenado.