Si [math] \ dfrac {(37 + 39) ^ 9} {38} = n + \ dfrac r {38} [/ math], ¿cuáles son los posibles valores de enteros positivos [math] n [/ math] y [math ] r [/ matemáticas]?

Answer 1

Una respuesta sería [matemática] n = 0 [/ matemática] y [matemática] r = (37 + 39) ^ 9 [/ matemática], excepto que se requiere que [matemática] n \ gt 0 [/ matemática]. Deje que [math] n \ geq 1 [/ math] sea un número entero positivo.

[matemáticas] \ frac {(37 + 39) ^ 9} {38} = n + \ frac {r} {38} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {76 ^ 9} {38} = \ frac {38n} {38} + \ frac {r} {38} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {76 ^ 9} {38} = \ frac {38n + r} {38} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 76 ^ 9 = 38n + r [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = 76 ^ 9-38n [/ matemáticas].

Entonces las soluciones enteras son de la forma

([matemática] n [/ matemática], [matemática] r [/ matemática]) = ([matemática] n [/ matemática], [matemática] 76 ^ 9-38n [/ matemática]).

Quiero [matemáticas] 76 ^ 9-38n \ gt 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 76 ^ 9 \ gt 38n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (2 × 38) ^ 9 \ gt 38n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 ^ 9 × \ frac {38 ^ 9} {38} \ gt n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 ^ 9 × 38 ^ 8 \ gt n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n \ lt 2 × 2 ^ 8 × 38 ^ 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n \ lt 2 (76 ^ 8) [/ matemáticas].

Sin embargo, [math] n \ geq 1 [/ math] por las restricciones del problema, por lo que debe tener

[matemáticas] 1 \ leq n \ lt 2 (76 ^ 8) [/ matemáticas],

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] las soluciones enteras positivas son

([matemática] n [/ matemática], [matemática] r [/ matemática]) = ([matemática] n [/ matemática], [matemática] 76 ^ 9-38n [/ matemática]),

[matemáticas] 1 \ leq [/ matemáticas] [matemáticas] n \ lt 2 (76 ^ 8) [/ matemáticas].

Answer 2

[matemáticas] \ frac {(37 + 39) ^ 9} {38} = n + \ frac {r} {38} [/ matemáticas]

LHS

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {(37 + 39) ^ 9} {38} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(76) ^ 9} {38} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(2 * 38) ^ 9} {38} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(2 ^ 9) (38 ^ 9)} {38} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ 9 \ ast 38 ^ 8 [/ matemáticas]

Para [math] n [/ math] y [math] r [/ math] son ​​números reales, [math] R [/ math] y enteros,

[matemática] n [/ matemática] [matemática] \ epsilon [/ matemática] [matemática] R [/ matemática]

[matemáticas] r [/ matemáticas] [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] [matemáticas] R [/ matemáticas], donde [matemáticas] r [/ matemáticas] es un múltiplo de 38

Answer 3

resolviendo para n:

n = (((37 + 39) ^ 9) / 38) – (r / 38)

Escribir esta ecuación en el lenguaje de programación J (jsoftware.com)

n =. (38% ~ (37 + 39) ^ 9) -r% 38

Aquí hay una función que me dice si un número es un entero:

isinteger =. 0 = (** 1 ||)

isinteger 1 2 3.3 4 5.6 3.2 3 8 7.6

1 1 0 1 0 0 1 1 (1 = sí, 0 = no)

Sustituyendo en los enteros 0–> 199 por r, y luego contando cuántos valores resultantes de n eran valores enteros (sin fracciones)

+ / isinteger (38% ~ (37 + 39) ^ 9x) – (i.200)% 38x

6 6

Entonces, hay 6 resultados enteros para n de los 200 resultados al evaluar la ecuación para r = 0–> 199

Entonces, ¿cuáles son esos valores de r que resultan en valores enteros de n?

(0 = (** 1 ||) (38% ~ (37 + 39) ^ 9x) – (i.200)% 38x) # i.200

0 38 76114152190

Entonces n es un entero cuando r es un múltiplo de 38.

vamos a revisar. Genera 0–50 múltiplos de 38:

] r = .38 * i.50

0 38 76114152190228266304342 380418456494 532 570608646684 722760798836874912950988 1026 1064 1102 1140 1178 1216 1254 1292 1330 1368 1406 1444 1482 1520 1558 1596 1634 1672 1710 1748 1786 1824 1862

Inserte esos 50 valores de r en la fórmula y cuente los valores enteros de n:

+ / isinteger (38% ~ (37 + 39) ^ 9x) – (r)% 38x

50

¡Cheque! 50 valores de r, dan 50 resultados enteros para n.

Answer 4

El lado izquierdo se convertirá (2 * 38) ^ 9/38

Simplifica da 2 ^ 9 * 38 ^ 8

El ecuatio se convierte en 2 ^ 9 * 38 ^ 8 = n + r / 38

Como n y r son enteros positivos …

El máximo de n es 2 ^ 9 * 38 ^ 8 – 1 con r igual a 38 (esta es la situación donde r es mínimo)

El mínimo de n es 1 con r igual a (2 * 38) ^ 9 – 38 (esta es la situación donde r es máximo)

Entonces, en total, hay 2 ^ 9 * 38 ^ 8 – 1 número de solución donde n va de 1 a ese número

Answer 5

76 ^ 9 = 38n + r

Elija cualquier número entero positivo n, luego deje r = 76 ^ 9 – 38n y su par (n, r) es una solución que proporciona r> 0.

Para r> 0 necesita n <76 ^ 9/38 o n <2226069574909952.

Por lo tanto, hay 2226069574909951 posibles soluciones, con:
1 <= n <= 2226069574909951 con r calculado a partir de n como arriba.

Tenga en cuenta que el número 2226069574909951 = 2 * 76 ^ 8 -1

Answer 6

(37 + 39) ^ 9 = 76 ^ 9/38 = 2 × 76 ^ 8

∴ (n, r) = (2 × 76 ^ 8,0), (2 × 76 ^ 8–1,38)… (2 × 76 ^ 8-k, 38k), k cualquier número entero.