¿Cuáles son los números totales de soluciones integrales para (x, y, z) tales que xyz = 24?

Answer 1

Consideremos primero las soluciones integrales positivas que son diferentes entre sí.

son (1,1,24), (1,2,12), (1,3,8), (1,4,6), (2,2,6) y (2,3,4). …… (1)

Al aplicar permutación y combinación en los tripletes ordenados anteriormente, obtenemos soluciones positivas totales (3! / 2!) + 3! +3! +3! + (3! / 2!) + 3! = 30

Una vez más, puede haber soluciones integrales negativas también donde solo dos pueden ser -ve

Entonces, para (1,1,24) las posibilidades son (-1.-1,24) y (-1,1,24).

para ambos podemos tener (3! / 2!) + 3! = 9 trillizos ordenados.

de manera similar para (1,2,12) tendremos 3! +3! +3! = 18 formas.

(1,3,8) ——— → 18 maneras

(1,4,6) ——— → 18 maneras

(2,2,6) ——— → 9 maneras

(2,3,4) ——— → 18 maneras

entonces las soluciones integrales totales para (x, y, z) de modo que xyz = 24 es —-

30 + 9 + 18 + 18 + 9 + 18 + 18 = 120.

Por lo tanto, la respuesta es 120. He visto que muchos la respondieron como 30, lo cual es incorrecto.

Mi habilidad de enseñanza no es buena si alguien tiene una manera mucho mejor de explicar esto, entonces son bienvenidos.

Por último, si estoy equivocado en algún lugar, por favor, indícamelo.

Answer 2

xyz = 24 = [matemáticas] 2 ^ 3.3 [/ matemáticas]

Ahora se deben distribuir 3 potencias de 2 a x, y y z. También se debe distribuir 1 potencia de 3 a x, y y z.

Esto es similar a distribuir 3 objetos idénticos a tres destinatarios distintos y luego distribuir 1 objeto más a tres destinatarios.

Número de formas = [matemática] 5C_2.3C_2 = 30 [/ matemática]

Dado que x, y, z son enteros, por lo tanto, cada solución tiene 4 permutaciones (por ejemplo (2,3,4), (2, –3, -4), (- 2,3, -4), (- 2, -3,4)). Por lo tanto, el número total de soluciones = 30 × 4 = 120.

Answer 3

Hay 30 posibles soluciones para los enteros positivos.

1,1,24 || 1,2,12 || 1,3,8 || 1,4,6 || 1,6,4 || 1,8,3 || 1,12,2 || 1,24,1 ||

2,1,12 || 2,2,6 || 2,3,4 || 2,4,3 || 2,6,2 || 2,12,1 ||

3,1,8 || 3,2,4 || 3,4,2 || 3,8,1 ||

4,1,6 || 4,2,3 || 4,3,2 || 4,6,1 ||

6,1,4 || 6,2,2 || 6,4,1 ||

8,1,3 || 8,3,1 ||

12,1,2 || 12,2,1 ||

24,1,1

Ahora hay 3 combinaciones más (que agradezco a Saleem, arriba por señalar, porque las extrañé al principio) para cada una de las soluciones anteriores cuando agrega los enteros negativos a la ecuación. Por ejemplo:

-24, -1, 1 || -24,1, -1 || 24, -1, -1

-12, -1,2 || -12,1, -2 || 12, -1, -2, etc.

Entonces, 30 + 30 * 3 = 120 posibles soluciones.