Entonces, el Sr. Kimtee Goh pidió mi opinión sobre cómo resolver esto. Sin embargo, su solución es bastante acertada, y no puedo encontrar ninguna mejora o caminos diferentes para resolverla; Los factoriales y la aritmética modular solo gritan “EL TEOREMA DE WILSON”.
Pero intentaré el enfoque de largo camino. Suponga que no sabe que el Teorema de Wilson es una cosa, pero sabe acerca de la existencia de inversos modulares; es decir, para cada número [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] 0 <k <n [/ matemática] ([matemática] n [/ matemática] sea un número primo), hay otro número [matemática] r [/ math] (no necesariamente diferente de [math] k [/ math]) tal que [math] r * k \ equiv 1 (mod \ n) [/ math]. Esta es, por cierto, una forma de probar el Teorema de Wilson . Como [math] 23 [/ math] es un número relativamente pequeño, podemos verificar manualmente las inversas multiplicativas de los números de [math] 1 [/ math] a [math] 22 [/ math].
Los pares inversos modulares [matemática] mod \ 23 [/ matemática] son: [matemática] (1, 1), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (5, 14), ( 7, 10), (9, 18), (11, 21), (13, 16), (15, 20), (17, 19) [/ matemáticas] y [matemáticas] (22, 22) [/ matemáticas ]
Bien, ahora con esto en nuestras manos, podemos calcular algunos resultados:
- ¿Cómo debo estudiar la teoría de números?
- ¿Cuál es el resto de 5 ^ 45 dividido por 15 ^ 5?
- Si [math] \ dfrac {(37 + 39) ^ 9} {38} = n + \ dfrac r {38} [/ math], ¿cuáles son los posibles valores de enteros positivos [math] n [/ math] y [math ] r [/ matemáticas]?
- ¿Con qué frecuencia es [matemáticas] a ^ n + b ^ n [/ matemáticas] un número primo ([matemáticas] a, b, n [/ matemáticas] son números enteros)?
- ¿Qué es la matemática discreta y por qué es tan importante para la informática?
[matemáticas] 17! = 2 * 3 *… * 17 = (2 * 12) * (3 * 8) * (4 * 6) * (5 * 14) * (7 * 10) * 9 * 11 * (13 * 16) * 15 * 17 \ equiv 9 * 11 * 15 * 17 (mod \ 23). [/ Math]
[matemáticas] 9 * 11 * 15 * 17 \ equiv 99 * 255 (mod \ 23). [/ matemáticas]
[matemática] 99 (mod \ 23) [/ matemática] es igual a [matemática] 7 [/ matemática] y [matemática] 255 (mod \ 23) [/ matemática] es igual a [matemática] 2 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] 17! \ equiv 7 * 2 \ equiv 14 (mod \ 23) [/ math].
Ahora, para calcular [matemáticas] 19! (mod \ 23) [/ math], podemos usar el resultado anterior para obtener:
[matemáticas] 19! \ equiv 19 * 18 * 17! \ equiv 19 * 18 * 14 (mod \ 23) [/ math].
Como [math] 19 \ equiv -4 (mod \ 23) [/ math] y [math] 18 \ equiv -5 (mod \ 23) [/ math], tenemos que [math] 19 * 18 \ equiv (- 4) * (- 5) \ equiv 20 (mod \ 23) [/ math].
Por lo tanto, [matemáticas] 19 * 18 * 14 \ equiv 20 * 14 \ equiv 280 \ equiv 4 (mod \ 23) [/ matemáticas].
Por lo tanto, [matemáticas] 19! \ equiv 4 (mod \ 23) [/ math].
Finalmente: [matemáticas] 19! – 17! \ equiv 4 – 14 \ equiv -10 \ equiv 13 (mod \ 23) [/ math].