Cómo demostrar que si [matemática] x [/ matemática] es impar, entonces [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/ matemática] no es igual a cero

Answer 1

A2A: ¿Cómo muestro que si x es un número entero, entonces x ^ 2 + x +1 no es igual a cero?

[matemáticas] \ qquad [/ matemáticas] Nota: en esta respuesta, supongo que x es un número entero, no necesariamente un número entero impar, como se indica en la pregunta original.

Primero, observe que el producto de [math] n [/ math] enteros consecutivos es un múltiplo de [math] n, [/ math] que se prueba usando el principio del casillero. En particular, [math] (x) (x + 1) [/ math] es par, para cualquier número entero, [math] x. [/ Math]

Puede expresar [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas] como [matemáticas] (x) (x + 1) +1, [/ matemáticas] y luego verá que es la suma de un número par (el producto de dos enteros consecutivos) y el número impar, 1.

La suma de un número par y un número impar es impar, por lo que [math] (x) (x + 1) +1 [/ math] es impar.

El cero no es un número impar, por lo que [math] (x) (x + 1) +1 [/ math] no es cero.

Answer 2

[matemáticas] x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + \ frac {1} {4} + \ frac {3} {4} = \ left (x + \ frac {1} {2} \ right) ^ 2+ \ frac {3} {4} \ geq \ frac {3} {4}. [/ Math]

Por lo tanto, para cualquier número real [matemática] x [/ matemática], [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/ matemática] es al menos [matemática] \ frac {3} {4} [/ matemática], y por lo tanto no cero

Por supuesto, la respuesta de su pregunta sigue como un corolario a la afirmación anterior.

Answer 3

[matemática] x = 2n + 1 [/ matemática], donde [matemática] n = 0,1,2,… [/ matemática]

[matemáticas] (2n + 1) ^ 2 + (2n + 1) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4n ^ 2 + 4n + 1 + 2n + 1 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4n ^ 2 + 6n + 3 [/ matemáticas]

Para que sea mínimo [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], ya que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es el número impar más pequeño,

[matemáticas] 4n ^ 2 + 6n + 3 = 4 (0) ^ 2 + 6 (0) + 3 = 3 [/ matemáticas]

Por lo tanto, nunca es igual a CERO.

Answer 4

Trivialmente

Como x es impar, cada uno de los 3 números: x ^ 2 , x y 1 son impares. En consecuencia, su suma ( x ^ 2 + x +1 ) es impar, por lo que no puede ser cero, porque cero es un número par.

Answer 5

Si x es impar, entonces x = 2n + 1 para algunos n = 0,1,… ..

(si x es un número entero, entonces x = 2n + 1 para algunos n = 0, -1,1, -2,2, …)

Ahora, comience con su expresión y pruebe por contradicción estableciéndola = a 0.

(x ^ 2) + x + 1 = 0, donde x = 2n + 1

(2n + 1) ^ 2 + (2n + 1) + 1 = 0

(2n) ^ 2 + 4n + 1 + 2n + 1 + 1 = 0

simplificar para obtener

4n ^ 2 + 6n + 3 = 0

Si resuelve esto usando la fórmula cuadrática:

n = [-6 +/- sqrt (36–16 * 3)] / 8

n = [-6 +/- sqrt (-12)] / 8

n = [-6 +/- sqrt (12) * i] 8

Esto significa que n es un número imaginario y no un número real. Aunque se discuten los números imaginarios impares (consulte ¿Pueden considerarse los números decimales / imaginarios pares / impares?), Me imagino que esta pregunta supone que impar significa un valor entero impar.

Así lo has probado por contradicción.

Answer 6

No importa si es par o impar o fracción. Cualquiera sea el número [matemático] x [/ matemático] con el que elija comenzar, nunca podrá encontrar ningún [matemático] x [/ matemático], de modo que el la ecuación cuadrática [matemática] x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ matemática] es verdadera.

Las raíces de esta ecuación son los números complejos conjugados.

[matemáticas] – \ frac 12 \ pm \ frac {\ sqrt {-3}} 2 [/ matemáticas]

Answer 7

Bueno, si [math] x [/ math] es impar, entonces [math] x ^ {2} [/ math] también es impar.

Por lo tanto, si [matemática] x [/ matemática] es impar, entonces [matemática] x + x ^ {2} [/ matemática] es par (la suma de dos números impares le da un número par).

Sin embargo, la suma de un número impar y un número par siempre le da un número impar y, por lo tanto, [matemáticas] x + x ^ {2} + 1 = (x + x ^ {2}) +1 [/ matemáticas] es impar. Como 0 es par, [matemática] x + x ^ {2} + 1 [/ matemática] no puede ser igual a 0.

Answer 8

Todos los números impares se pueden expresar como 2n + 1.

Entonces, con la sustitución, la ecuación se convierte en 4n ^ 2 + 4n + 1 + 2n + 1 + 1

= 4n ^ 2 + 6n + 3.

4n ^ 2 es par porque n ^ 2 puede ser par o impar, pero un número impar multiplicado por un número par siempre es un número par.

6n es incluso por la misma razón.

Entonces 4n ^ 2 + 6n es par.

Observe que no hay un número par que se pueda sumar o restar de un número impar para obtener cero; siempre habrá una diferencia de al menos uno.

Answer 9

Answer 10

La suma de un número impar de probabilidades es impar. 0 es par.