¿Cuándo (3 ^ a) / (2 ^ b-3) tiene valores enteros?

Answer 1

Deje [math] {\ mathbb N} _0 = \ mathbb N \ cup \ {0 \} [/ math]. Deseamos determinar todos [math] (a, b) \ in {\ mathbb N} _0 \ times {\ mathbb N} _0 [/ math] de modo que [math] \ dfrac {3 ^ a} {2 ^ b- 3} \ in \ mathbb Z [/ math].

Dado que [math] a, b \ ge 0 [/ math], [math] 3 ^ a \ in \ mathbb N [/ math] y [math] 2 ^ b-3 \ in \ mathbb Z [/ math]. Es fácil ver que no hay una solución de la forma [math] (a, 0) [/ math], y que todos los pares [math] (a, b) [/ math] con [math] a \ in { \ mathbb N} _0 [/ math] y [math] b \ in \ {1,2 \} [/ math] son ​​soluciones, ya que [math] 2 ^ b-3 = \ pm 1 [/ math] cuando [math ] b \ in \ {1,2 \} [/ math]. Como todas las soluciones de for [math] (0, b) [/ math] deben satisfacer [math] 2 ^ b-3 = \ pm 1 [/ math], y por lo tanto [math] b = 1 [/ math] o [math] 2 [/ math], que ya hemos incluido anteriormente, en adelante podemos suponer que [math] a \ ge 1 [/ math] y [math] b \ ge 3 [/ math].

La condición de divisibilidad es equivalente a [matemática] 2 ^ b-3 = 3 ^ c [/ matemática], con [matemática] c \ in \ {0,1,2, \ ldots, a \} [/ matemática]. Ahora [math] c> 0 [/ math] lleva a la imposibilidad de que [math] 3 \ mid (3 + 3 ^ c) = 2 ^ b [/ math], ya que [math] b> 0 [/ math]. Por lo tanto, [matemática] c = 0 [/ matemática], de modo que [matemática] b = 2 [/ matemática], y la solución que ya hemos incluido anteriormente.

El conjunto de todas las soluciones [math] (a, b) \ in {\ mathbb N} _0 \ times {\ mathbb N} _0 [/ math] es [math] \ big \ {(a, 1): a \ in {\ mathbb N} _0 \ big \} \ bigcup \ big \ {(a, 2): a \ in {\ mathbb N} _0 \ big \} [/ math]. [math] \ blacksquare [/ math]

Answer 2

Por lo tanto, queremos encontrar las soluciones enteras de 3 ^ a / ((2 ^ b) -3). Para soluciones enteras (2 ^ b) -3 = 3 ^ k debido a las propiedades de factorización prima donde k es un número entero.

Esto reordena a (2 ^ b) / 3 = 3 ^ (k-1) +1. Está claro que para k> = 1 el RHS es un entero> = 2. Si b> = 0 LHS nunca es un entero. Si b es negativo, LHS es menor que 1, que es menor que RHS. Por lo tanto, no hay soluciones para k> = 1.

Para k = 0 usamos la reorganización 2 ^ b = 3 ^ k + 3. Esto tiene una solución obvia de b = 2.

Ahora necesitamos verificar k <0. En este caso podemos usar la reorganización (2 ^ b) / 3 = 1/3 ^ (j) +1 para j> = 2. 1/3 ^ j + 1 tiene límites de 1 y 10/9 ya que j tiende a 2 e infinito respectivamente. En los casos en que b <= 1, 2 ^ b / 3 es menor que 1. Donde b> = 2, 2 ^ b / 3> 10/9. No hay enteros entre 1 y 2, por lo tanto, no hay soluciones para j> = 2, por lo tanto, no hay soluciones para k <0.

Esto concluye nuestra búsqueda. 2 ^ b -3 = 3 ^ k tiene soluciones enteras si f k es 0 y b es 2.

Con b = 2; 3 ^ a / ((2 ^ b) -3) = 3 ^ a / 1, que es una solución entera para todos a> = 0.

Por lo tanto, nuestro conjunto total de soluciones es b = 2, a> = 0.

Answer 3

Podemos eliminar claramente todos los casos en que [matemáticas] a <0 [/ matemáticas] (Ambos [matemáticas] \ dfrac {1} {3 ^ {- a} (2 ^ b - 3)} [/ matemáticas] para [matemáticas] b \ geq 0 [/ math] y [math] \ dfrac {2 ^ {- b}} {3 ^ {- a} (1 - 3 * 2 ^ {- b})} [/ math] para [math] b <0 [/ math] no son enteros)

Supongamos que [math] \ dfrac {3 ^ a} {2 ^ b – 3} = k [/ math] entonces obtenemos:

[matemáticas] 3 ^ a + 3k = k * 2 ^ b [/ matemáticas]

Entonces 3 debe dividir k (ya que no puede dividir [matemática] 2 ^ b [/ matemática]. Suponga que [matemática] k = 3k_ {1} [/ matemática]; Entonces obtenemos

[matemáticas] 3 ^ {a-1} + 3k_ {1} = k_ {1} * 2 ^ b [/ matemáticas]

Entonces podemos ver que podemos aplicar la misma lógica que antes. Entonces al hacer esto aplicamos la misma lógica “a – 1” veces; obtenemos;

[math] 3 ^ {aa} + 3k_ {a} = k_ {a} * 2 ^ b \ Rightarrow k_ {a} * (2 ^ b – 3) = 1 [/ math] que solo es posible si [math] 2 ^ b – 3 = 1 \ Rightarrow 2 ^ b = 4 \ Rightarrow b = 2 [/ math]. Entonces obtenemos que es posible si el caso de [math] b = 2 [/ math]; de lo contrario no. [matemáticas] [/ matemáticas]

Editar: También es posible para [matemáticas] 2 ^ b – 3 = -1 [/ matemáticas] o [matemáticas] b = 1. [/ math] Si considera negativo b entonces [math] \ dfrac {1 – 3 * 2 ^ {- b}} {2 ^ {- b}} [/ math] nunca tendrá forma [math] \ dfrac { 1} {k_ {a}} [/ math] porque no hay un factor común entre [math] 1 – 3 * 2 ^ {- b} [/ math] y [math] 2 ^ {- b} [/ math]