Si a, byc son números primos superiores a 3, entonces, ¿cómo puedo probar que (ab) (bc) (ca) se puede dividir entre 48?

Answer 1

Probemos el reclamo con [matemáticas] 5 [/ matemáticas], [matemáticas] 7 [/ matemáticas], [matemáticas] 13 [/ matemáticas].

[matemáticas] (5–7) (7–13) (13–5) = (-2) * (-6) * 8 = 96 [/ matemáticas]

Parece funcionar.

Deje [math] P: = (ab) (bc) (ca) [/ math] con [math] a, \, b, \, c [/ math] tres números primos mayores que [math] 3 [/ math] .

Cualquier número primo mayor que [math] 3 [/ math] es impar. La diferencia de dos números impares es par , por lo tanto divisible por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. A partir de ahí, [matemática] P [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática] al menos tres veces.

Supongamos que [math] P [/ math] solo es divisible por [math] 2 [/ math] tres veces. Entonces, [math] (ab), \, (bc), \, (ca) [/ math] son todos números impares . Sin embargo, [matemáticas] c-a + bc = ba = – (ab) [/ matemáticas] y la suma de dos números impares es par. Contradicción.

Por lo tanto, [matemáticas] P [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 16 [/ matemáticas]

Cada número primo mayor que [math] 3 [/ math] no es divisible por [math] 3 [/ math] y, por lo tanto, puede escribirse como [math] 3p + 1 [/ math] o [math] 3p + 2 [/matemáticas]

Al menos dos de los tres primos son de la primera o la segunda forma. Por lo tanto, su diferencia es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. [matemáticas] P [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Eso es. Eso fue divertido.

Espero que esto ayude.

Answer 2

A2A: Si a, byc son números primos superiores a 3, entonces, ¿cómo puedo demostrar que (ab) (bc) (ca) se puede dividir entre 48?

(La pregunta original permitía 3 como uno de los números primos, pero el producto de las diferencias de 3,5,7 es 16, no un múltiplo de 48, así que estoy respondiendo la pregunta más razonable).

Primero demostremos que el producto tiene que ser un múltiplo de [math] 3 [/ math]. El residuo, mod [math] 3 [/ math], de [math] a, b, [/ math] y [math] c [/ math] debe ser [math] \ pm1 [/ math], porque ninguno de ellos es un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Según el principio del casillero, dos de [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] tienen el mismo residuo, mod [matemáticas] 3 [/ matemáticas], por lo que la diferencia de esos dos será un múltiplo de [matemáticas] 3 [ / math], por lo tanto, el producto es un múltiplo de [math] 3 [/ math].

A continuación, veamos cuántas veces [matemática] 2 [/ matemática] divide las tres diferencias de [matemática] a, b, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática]. Como [math] a, b, c [/ math] son ​​todos impares, [math] 2 [/ math] divide cada una de sus diferencias al menos una vez. Suponga que [math] 2 [/ math] divide el producto solo tres veces, es decir , [math] 2 [/ math] divide cada diferencia exactamente una vez. Entonces [math] \ frac {ab} {2} [/ math] y [math] \ frac {bc} {2} [/ math] son ​​impares, entonces el negativo de su suma, [math] \ frac {ca } {2} [/ math] es par, entonces [math] ca [/ math] es divisible por [math] 4 [/ math], una contradicción. Entonces [math] 2 [/ math] divide el producto al menos cuatro veces. El producto es un múltiplo de [matemáticas] 16 [/ matemáticas].

El producto es un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y es un múltiplo de [matemáticas] 16 [/ matemáticas], por lo que es un múltiplo de [matemáticas] 48 [/ matemáticas].

Answer 3

Pruebe 3, 5 y 7. Sus diferencias son 2, 2, 4 cuyo producto es 16, que no es divisible por 48.

Sin embargo, creo que la contradicción, en este caso, fue causada por el 3. Así que insistamos en que los tres números primos sean distintos y mayores que 3.

Primero mostramos que 16 divide el producto y luego 3 lo hace.

Primero, tenga en cuenta que solo hay dos residuos posibles cuando un primo mayor que 3 se divide por 4 === 1 o 3. Por cada par que seleccionemos de a, b, c, siempre habrá dos diferencias, cada una divisible por 2 y uno que es divisible por para. Por lo tanto, el producto dado es divisible por 16

En segundo lugar, tenga en cuenta que hay tres posibles residuos en la división por 3 === 0, 1, 2. Si uno de a, b, c es divisible por 3, hemos terminado. De lo contrario, el Principio de Pigeon Hole garantiza que 2 de ellos dejen el mismo resto y, por lo tanto, 3 dividen el producto dado. Hecho.

Answer 4

No puedes probar esto porque no es cierto. Considere el caso [matemática] a = b = c [/ matemática]. Entonces sus diferencias son 0, por lo que el producto de estas diferencias debería ser 0, que no se puede dividir por 48.

Podríamos agregar la restricción de que estos sean números únicos. Desafortunadamente, todavía es fácil encontrar un contraejemplo. Considere [matemáticas] a = 3, b = 5, c = 7 [/ matemáticas]. Entonces sus diferencias son todas 2, por lo que el producto de estas diferencias es 8, que no se puede dividir por 48.

Cuando se encuentra por primera vez con una declaración como esta, su primer enfoque debe ser tratar de encontrar un ejemplo que refute la declaración. Solo cuando no puedas encontrar uno deberías comenzar a buscar una prueba. Me parece que buscar ejemplos de contador y no poder encontrar uno realmente ayuda con la prueba. Te da una idea de por qué los intentos de refutación no funcionan. Sin embargo, para esta declaración, ahorramos mucho tiempo al encontrar rápidamente una prueba a prueba en lugar de perder el tiempo buscando una prueba que no está allí.

EDITAR: como han señalado algunas personas, [matemática] 0 [/ matemática] puede dividirse por [matemática] 48 [/ matemática]. La razón por la que no vi esto en primer lugar es que a menudo dejamos [matemáticas] 0 [/ matemáticas] fuera de los números naturales, mi mal. He dejado la respuesta original sin cambios para que esta edición tenga sentido.