Si [math] a ^ {b} = 2 ^ {120} [/ math] donde a y b son enteros positivos, entonces ¿cuál es el menor valor de [math] a + b [/ math]?

Answer 1

Primero, ignoremos que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​enteros, pero supongamos que [matemática] a> 1 [/ matemática] y [matemática] b> 1 [/ matemática]. Nota [matemática] a [/ matemática] no puede ser [matemática] 1 [/ matemática] porque entonces [matemática] a ^ b = 1 \ neq 2 ^ {120} [/ matemática]. Además, si [matemática] b = 1 [/ matemática], la única solución es [matemática] a = 2 ^ {120} [/ matemática] entonces [matemática] a + b = 1 + 2 ^ {120} [/ matemática ], mucho más grande que la respuesta obvia [matemática] a = 2 [/ matemática] y [matemática] b = 120 [/ matemática] cuando [matemática] a + b = 122 [/ matemática].

Para una [matemática] a [/ matemática] dada, [matemática] b [/ matemática] es

[matemáticas] a ^ b = 2 ^ {120} \ Rightarrow b \ log {a} = 120 \ log {2} \ Rightarrow b = \ frac {120 \ log {2}} {\ log {a}} [/ matemáticas]

Ahora, usemos el hecho de que [math] b [/ math] es un entero. Eso significa que [math] \ log {a} [/ math] debería ser un multiplicador de [math] \ log {2} [/ math]. Entonces [math] b [/ math] es un número entero para cualquier [math] a [/ math] de la forma [math] 2 ^ m [/ math], siempre que [math] 120 = 2 ^ 3 \ times 3 \ times 5 [/ math] es divisible por [math] m [/ math]. Ahora, no debería ser difícil probar diferentes valores para [matemática] m [/ matemática] y encontrar el valor mínimo de [matemática] a + b [/ matemática].

Resulta que para [matemática] m = 4 [/ matemática], [matemática] a + b = 16 + 30 = 46 [/ matemática] tiene el valor mínimo.

Answer 2

Dado [math] bc = 120 [/ math], luego [math] (2 ^ c) ^ b = 2 ^ {120} [/ math], entonces [math] b [/ math] es un divisor de [math] 120 [/ matemáticas].

Para [matemática] b = 1 [/ matemática], [matemática] c = 120 [/ matemática], a [matemática] = 2 ^ {120} [/ matemática] y [matemática] a + b = 2 ^ {120} +1 [/ matemáticas]
Para [matemáticas] b = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 60 [/ matemáticas], [matemáticas] a = 2 ^ {60} [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = 2 ^ {60} +2 [/ matemáticas]

Para valores pequeños de [matemática] b [/ matemática]: cuanto más alta [matemática] b [/ matemática], menor [matemática] a = 2 ^ c [/ matemática], y el valor disminuye rápidamente. Entonces tomemos valores grandes de [math] b [/ math].

Para [matemática] b = 120 [/ matemática], [matemática] c = 1 [/ matemática], [matemática] a = 2 ^ {1} [/ matemática] y [matemática] a + b = 122 [/ matemática]
Para [matemáticas] b = 60 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] a = 2 ^ {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = 64 [/ matemáticas]
Para [matemáticas] b = 40 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 3 [/ matemáticas], [matemáticas] a = 2 ^ {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = 48 [/ matemáticas]
Para [matemáticas] b = 30 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 4 [/ matemáticas], [matemáticas] a = 2 ^ {4} [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = 46 [/ matemáticas]
Para [matemáticas] b = 24 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 5 [/ matemáticas], [matemáticas] a = 2 ^ {5} [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = 32 + 24 = 56 [/matemáticas]
Para [matemáticas] b = 20 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 6 [/ matemáticas], [matemáticas] a = 2 ^ {6} [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = 64 + 20 = 84 [/matemáticas]

Ahora, para [matemática] b [/ matemática] más pequeña, [matemática] c [/ matemática] es más grande y para [matemática] c> 6 [/ matemática], [matemática] 2 ^ c> 64> 46 [/ matemática] .

Entonces el valor no es [math] 46 [/ math] de [math] 16 ^ {30} = 2 ^ {120} [/ math].

Answer 3

Ahora [matemáticas] 2 ^ {120} = 4 ^ {60} = 8 ^ {40} = 16 ^ {30} = 32 ^ {24} = 64 ^ {20} = 256 ^ {15} [/ matemáticas] y pronto. [matemáticas] [/ matemáticas] Ahora míralos. El valor mínimo de a + b es 46.