¿Cuál es el resto de 34 ^ 31 ^ 301/9?

Answer 1

Podemos escribir,

[matemáticas] (34 ^ {31}) ^ {301} = ((33 + 1) ^ {31}) ^ {301} [/ matemáticas]

Ahora usando la expansión binomial,

[matemáticas] nC_0 * 33 ^ 0 * 1 ^ n + nC_1 * 33 ^ 1 * 1 ^ {n-1} + nC_2 * 33 ^ 2 * 1 ^ {n-2} +.… nC_n * 33 ^ n * 1 ^ 0 [/ matemática], [matemática] [/ matemática] donde n = [matemática] 31 ^ {301}. [/ Matemática]

a partir de esta expansión, podemos ver fácilmente que a partir del segundo término contiene [matemáticas] 3 ^ 2 [/ matemáticas], fácilmente divisible por 9. Entonces la ecuación cambia a:

[matemáticas] (33 * 31 ^ {301} +1) [/ matemáticas] mod 9

nuevamente 31 = 30 + 1 y usando expansión binomial;

[matemáticas] (33 * (301C_0 * 30 ^ 0 * 1 ^ {301} + 301C_1 * 30 ^ 1 * 1 ^ {300} + ……) +1) [/ matemáticas] mod 9

multiplicando 33, cambia a

((33 + 301 * 33 * 30 +…) +1) mod 9, aquí el segundo y los siguientes términos contienen [matemática] 3 ^ 2 [/ matemática] fácilmente divisible por lo tanto

(33 + 1) mod 9

resto = 7

Answer 2

Podemos resolver esto de múltiples maneras. Apliquemos el teorema de Euler.

Aquí 9 es un número compuesto.

• 9 = 3 ^ 2
• ø (9) = 9 (1 – 1/3) = 6

Aplicando el teorema de Euler,

TEOREMA DE EULER por Sarthak Dash en RESTANTES

• R [(34 ^ 6) / 9] = 1
• Además, R [(34 ^ 6k) / 9] = 1

Entonces, básicamente, si podemos reducir el índice si 34 en forma (6k + m), nuestra tarea será fácil.

• Usaremos el teorema binomial para hacer esto.
• TEOREMA BINOMIAL por Sarthak Dash en RESTANTES
• Ahora, 31 ^ 301 = (30 + 1) ^ 301 = (6p + 1) ^ 301 = 6k + 1

Entonces. R [(34 ^ 31 ^ 301) / 9]

= R {[34 ^ (6k + 1)] / 9}

= R [(34 ^ 6k) * 34/9]

= R [(34 ^ 6k) / 9] * R [34/9]

= 1 * 7

= 7 ( respuesta )

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RESTANTES

Answer 3

Comenzaremos por encontrar el resto que obtenemos al dividir 34 entre 9

[matemáticas] 34 \ equiv -2 \ pmod {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 2) ^ {3} = -8 \ equiv 1 \ pmod {9} [/ matemáticas]

Así que ahora comprobaremos el resto de 31 ^ {309} cuando se divide por 3

[matemáticas] 31 \ equiv 1 \ pmod {3} Por lo tanto, [/ matemáticas]

[matemáticas] 31 ^ {301} \ equiv 1 ^ {301} \ equiv 1 \ pmod {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] {31 ^ 301} \ equiv 3k + 1 [/ math] para algún entero k

[matemáticas] 34 ^ {31 ^ {301}} \ equiv 34 ^ {3k + 1} \ equiv (-2) ^ {3k + 1} \ pmod {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 2) ^ {3k + 1} \ equiv (-2) ^ {3k} * (- 2) \ equiv 1 * (- 2) \ equiv 7 \ pmod {9} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] 34 ^ {31 ^ {301}} \ equiv 7 \ pmod {9} [/ matemáticas]