Dos enteros positivos a y b son tales que a + b = a / b + b / a. ¿Cuál es el valor de a ^ 2 + b ^ 2?

Answer 1

[matemáticas] a + b = a / b + b / a [/ matemáticas]

-> Ahora toma LCM

[matemáticas] a + b = (a ^ 2 + b ^ 2) / ab [/ matemáticas]

-> Multiplicación cruzada

[matemáticas] (a + b) ab = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2.b + b ^ 2.a = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

Tome [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] común

[matemáticas] a ^ 2 (b-1) + b ^ 2 (a-1) = 0 [/ matemáticas] – (1)

Ahora, dado que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​enteros positivos, su cuadrado no puede ser cero.

Entonces, para hacer que la ecuación 1 sea igual a cero:

[math] (b-1) [/ math] y [math] (a-1) [/ math] ambos tienen que ser [math] 0 [/ math] .

Por lo tanto,

[matemáticas] b-1 = 0 [/ matemáticas] => [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]

y,

[matemáticas] a-1 = 0 [/ matemáticas] => [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] a = b = 1 [/ matemáticas]

Answer 2

a + b = a / b + b / a [matemáticas] [/ matemáticas]

-> Ahora tomando LCM

a + b = (a2 + b2) / ab [matemáticas] [/ matemáticas]

-> Multiplicación cruzada

(a + b) ab = a2 + b2

a2.b + b2.a = a2 + b2

Tome a2 y b2 [matemáticas] [/ matemáticas] común

a2 (b − 1) + b2 (a − 1) = 0 – (1)

Ahora, dado que a [math] [/ math] yb son enteros positivos, su cuadrado no puede ser cero.

Entonces, para hacer que la ecuación 1 sea igual a cero:

(b − 1) y (a − 1) ambos deben ser 0 .

Por lo tanto,

b − 1 = 0 => b = 1

y,

a − 1 = 0 => a = 1

Por lo tanto, a = b = 1

Answer 3

Disculpas por la respuesta tardía chicos … estaba atrapado con algo …

“… las matemáticas son la percepción del análisis …” Podemos resolver muchas preguntas sin ningún conocimiento, solo un análisis absoluto … Vamos a intentar esto

Observe los siguientes:

a) Si tanto ‘a’ como ‘b’ son enteros, entonces

a <= (a / b). ... 1 La igualdad se mantendrá solo si a = b = 1

b <= (b / a)… .. 2

como la división, por supuesto, por definición reduce el valor

b) Si la igualdad se cumple en 1 o 2, la igualdad debe mantenerse en el otro para que la ecuación a + b = a / b + b / a se mantenga

ayb => a = 1 yb = 1

entonces a ^ 2 + b ^ 2 = 2

Answer 4

[matemáticas] a + b = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {ab} \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2b + b ^ 2a = a ^ 2 + b ^ 2 \ tag {2} [/ matemáticas]

Por [matemáticas] (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] a = b = 1 \ etiqueta {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 1 + 1 = 2 \ tag {4} [/ matemáticas]

QED

Answer 5

a + b = a / b + b / a puede satisfacerse solo cuando a y b son iguales

así que probémoslo desde 1

Lhs = 1 + 1 = 2

rhs = 1/1 + 1/1

= 1 + 1 = 2

lhs = rhs

entonces a = b = 1

a ^ 2 + b ^ 2

= 1 ^ 2 + 1 ^ 2

1 + 1

= 2