¿Cómo pruebo que la suma de todos los números que son menores que ‘n’ y son primos para ‘n’, son iguales a ‘n’? ‘n’ es cualquier número natural.

No puede probar que la suma es igual a [matemáticas] n [/ matemáticas] porque no es así. Una comprobación rápida con [math] n \ in \ {1,2,3,4,5 \} [/ math] , por ejemplo, mostraría esto.


Para [math] n \ in \ mathbb N [/ math], escribamos

[matemáticas] S_n = \ big \ {a: 1 \ le a \ le n, \ gcd (a, n) = 1 \ big \} [/ math].

Entonces [math] \ phi (n): = \ big | S_n \ big | [/ math], y nuestro objetivo es demostrar que

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {a \ en S_n} a = \ dfrac {n \ cdot \ phi (n)} {2} \ ldots (\ star) [/ math]

para [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas]. Es evidente que esta suma es igual a [matemática] 1 [/ matemática] cuando [matemática] n = 1 [/ matemática].

Tenga en cuenta que [math] \ gcd (a, n) = \ gcd (na, n) [/ math]. [math] ([/ math] Esto se puede mostrar, por ejemplo, demostrando que [math] \ gcd (a, n) [/ math] divide [math] na [/ math] y que [math] \ gcd ( na, n) [/ math] divide [math] a [/ math]. [math]) [/ math]

Por lo tanto, la suma requerida es igual a ambos

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {a \ en S_n} a, \ qquad \ displaystyle \ sum_ {a \ en S_n} (na). [/ math]

Agregar las dos sumas da como resultado [math] \ phi (n) [/ math] pares, cada uno de los cuales suma [math] n [/ math]. Esto prueba nuestra afirmación dada por [math] (\ star) [/ math].