No puede probar que la suma es igual a [matemáticas] n [/ matemáticas] porque no es así. Una comprobación rápida con [math] n \ in \ {1,2,3,4,5 \} [/ math] , por ejemplo, mostraría esto.
Para [math] n \ in \ mathbb N [/ math], escribamos
[matemáticas] S_n = \ big \ {a: 1 \ le a \ le n, \ gcd (a, n) = 1 \ big \} [/ math].
Entonces [math] \ phi (n): = \ big | S_n \ big | [/ math], y nuestro objetivo es demostrar que
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- ¿Cuál es la relación entre la geometría algebraica y la teoría de números?
- ¿Cuál es el resto [matemáticas] \ mod2 ^ {10} [/ matemáticas] del resto de [matemáticas] \ dfrac {2 ^ {200}} {20 ^ {10}} [/ matemáticas]?
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[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {a \ en S_n} a = \ dfrac {n \ cdot \ phi (n)} {2} \ ldots (\ star) [/ math]
para [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas]. Es evidente que esta suma es igual a [matemática] 1 [/ matemática] cuando [matemática] n = 1 [/ matemática].
Tenga en cuenta que [math] \ gcd (a, n) = \ gcd (na, n) [/ math]. [math] ([/ math] Esto se puede mostrar, por ejemplo, demostrando que [math] \ gcd (a, n) [/ math] divide [math] na [/ math] y que [math] \ gcd ( na, n) [/ math] divide [math] a [/ math]. [math]) [/ math]
Por lo tanto, la suma requerida es igual a ambos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {a \ en S_n} a, \ qquad \ displaystyle \ sum_ {a \ en S_n} (na). [/ math]
Agregar las dos sumas da como resultado [math] \ phi (n) [/ math] pares, cada uno de los cuales suma [math] n [/ math]. Esto prueba nuestra afirmación dada por [math] (\ star) [/ math].